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X y 



— duy — d 



— du^ — d 



= 0, 



übergeht, wean die rationale Curve dritter Ordnung einen Rückkehr- 

 punkt besitzt. Wir erhalten so den Satz : 



Wenn die Summe der Parameter dreier Punkte 

 einer Curve dritter Ordnung mit einem Rückkehr- 

 punkte gleich Null ist, so liegen dieselben auf einer 

 Geraden. 



Es gelten somit alle die Sätze, die ich aus dieser Gleichung 

 für die Cissoide entwickelt habe,*) allgemein für Curven dritter 

 Ordnung mit einem Rückkehrpunkte. 



Secante und Tangente. 



4. Die Gleichung einer Geraden, welche zwei Curvenpunkte, deren 

 Parameter Mj, w,, verbindet, i&t: 



1 



c -f- &Wi -\- au^ ' 

 oder nach kurzer Umformung 



— d 



b-\-a{Ui^ ~{- u^u^ -f- u^ '^) 

 oder entwickelt 



d-\-x\h-\-a{u^^-\- u^u^ -j" %'^)] + V [c—au^u^ (u^ 4"%)] — ö- (17) 

 Für «1 r= «2 =: M geht die Gleichung der Secante in die der 

 Tangente über und wir erhalten: 



d + xib^ Sau'') + «/ (c — 2au^) — 0. (18) 



Diese Gleichung drückt uns die Beziehung eines variablen 

 Punktes auf der Tangente und deren Berührungspunkte aus. Nehmen 

 wir X, y als Coordinaten eines festen Punktes an, so ergeben sich 

 uns die Parameter u der Berührungspunkte als Wurzeln der Glei- 

 chung (18). Dieselbe ist in Bezug auf u vom dritten Grade, es 

 lassen sich demnach vom jeden Punkte drei Tangenten an die Curve 

 dritter Ordnung mit einem Rückkehrpunkte legen, somit ist dieselbe 

 dritter Classe. 



Punktinvolution auf C3'. 



5. Das Strahlenbüschel der durch den Punkt (xy) gehenden Se- 

 kanten bestimmt auf Oj^ Puukttripel (Wn W21 ^^s) ^^^^^ cubischen In- 



x y 



Uy 1 



1 



= 0, 



*) Sitzungsberichte der k. böhra. Gesellschaft der Wissenschaften. Prag 1873. 



