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volution. Die Parameter je zweier Punkte z. B. w^, u^ genügen der 

 Gleichung (17) 



y[c — au^u^ (% -f- Wj)] -f" ^ [^ + ^ (% '^ + ^i% ~\~ % ^)] -h ^ — 0, 

 welche wir auch wegen Gl. (16) schreiben können: 



«/ (c -f- au^u^Ur^)~{- x[b^a(Ui'^-\- u^u^ -j- ^2^] H~ ^ =^ 0- (19) 

 Zwei der Punkte u^^u^^u^ bestimmen uns vollständig den Strahl, 

 es gilt demnach die Gl. (17) so für den Strahl u^u^, wie für u^u^ 

 und ^3%; wir erhalten demnach durch cyklische Vcrtauschurg der 

 Indices zwei neue Gleichungen für denselben Strahl und zwar: 



y {c-\- «%%%) -\- X [b -\- a (u^"^ -{• u^Uj -\- u^"^)] -\- d = 0, 

 y{c-\- au^UoUr^) -\- x [b ~\- a (u^^ -\- u^u^ -l- Ui^)] -\- d :rz 0. 

 Addiren wir diese zwei Gleichungen mit der Gleichung (19) 

 zusammen, so erhalten wir wegen 



die Gleichung der durch das Strahlenbüschel (x, y) bestimmten 

 Punktinvolution : 



y{c-\- au^UoU^) -{- x[b — (m^?/., -\- u^n^ -[- u^u^)] -\- d :=0, (20) 



wo die Vertauschfähigkeit (Involution) aus der Symmetrie dieser 

 Gleichung erhellt. 



Die Involution lässt sich auch gerade so nachweisen, wie wir 

 es bei der Cissoide*) dargethan haben. Jedes Element des Strahlen- 

 büschels schneidet C^^ in drei Punkten, deren Parameter sich uns 

 als Wurzeln einer cubischen Gleichung zufolge der Relation (u)^ zz: 

 ergeben in Form: 



u^ -\- lu -\- {i = 0. (21) 



Zwischen den Coefficienten besteht nun eine lineare Bediogungs- 

 gleichung (20) und zwar 



y(c~ati)-{-x(b—aX)-\-dz::0. (22) - 



Eliminiren wir nun aus den Gleichungen (21) und (22) die 

 Grösse ;*, so erhalten wir : 



ayu^ -\- hx -\- cy -\- d -\- aX (uy—x) = (23) 



als Gleichung der cubischen Punktinvolution auf C^^ in der Nor- 

 malform. 



*) Sitzungsberichte der k. böhm. Gesellschaft der Wissenschaften, Prag 1873. 



