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Die Parameter der Doppelpunkte der Involution erhalten wir, 

 indem wir die Diskriminante der Gleichung (23) gleich Null setzen. 

 Wir erhalten so: 



— 2ayu^ -f 3au^x -]- hx -\- cy -{- d =: 0. (23) 



Da aber die Discriminante einer cubischen Gleichung in Bezug 

 anf M im allgemeinen eine Gleichung vierten Grades iat, so erkennen 

 wir sogleich aus dem Fehlen des Gliedes m'*, dass eine der Wurzel 

 u = cc ist unabhängig von der Lage des Punktes (xy). Es ist aber 

 u — <x) Parameter des Rückkehrpunktes, somit ist derselbe ein allen 

 Involutionen auf C^^ gemeinschaftlicher Doppelpunkt. 



Vergleichen wir die Gleichung (23) mit der Gleichung der 

 Tangente (18), so erkennen wir sogleich die Doppelpunkte der In- 

 volution (xy) als die Berührungspunkte der durch den Punkt (xy) 

 zur Cj* gelegten Tangenten. 



6. Jeden Punkt u auf Cj' können wir doppelt auffassen, ent- 

 weder als Berührungspunkt oder als Tangentialpunkt ; im ersten Falle 

 entspricht demselben Wj als Tangentialpunkt und im zweiten Falle m, 

 als Berührungspunkt. Berücksichtigt man die Gieichuug (16), so er- 

 halten wir zwischen den Parametern m, u^ , u^ , erwähnter Punkte 

 nachstehende Relationen: 



2w -f- Ml =: 

 w -j- 2w2 — 

 und demnach ergeben sich die Coordinaten der Punkte m^ (x^ y^) , 

 **2 (^2 5 l/i) *ls Funktionen von u ausgedrückt 



— _ C Ž _ _ 8d 



^^~ c — 2bu — 8au* ' ^^ ~" Sc^^^^'^ü— au^ 



2du 4:du 



X, =: 



c — 2bu — Saw' ' * 8c — Abu — att' ' 



und die Gleichung der Verbindungslinie u^u^ nach entsprechender 

 Reduktion : 



I ^ ^ — y 



c — 2bu — 8au^ 2u 1=0 



' 2c-f5ířM' 2 



oder entwickelt nach Unterdrückung des gemeinschaftlichen Faktors u : 

 2 (2c -f 5aw') Í/ — (4Ď + 21««*^) x~^Ad=zO (24) 



Diese Verbindungdlinie u^u^ , die wir kurz ü bezeichnen wollen, 

 ist durch die Lage des Punktes w mí C^^ eindeutig bestimmt; jedem 



