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Die Tripel der Osculationspunkte bilden auf der 

 Strophoide eine cubische Punktinvolution, deren Gleichung 

 durch (37) ausgedrückt ist. 



Die Parameter der Doppelpunkte erhalten wir, wenn wir aus 

 Gleichung (37) und ihre Derivation nach u den veränderlichen Pa- 

 rameter der Involution Uy eliniinireii. Wir erhalten so 



(it- _ 1) — 0, 

 daher 



U = db 1. 



Je zwei der vier Doppelpunkte fallen zusammen. Die cubische 

 Involution (37) hat demnach zwei dreifache Punkte, deren Parameter 

 m:=:-j-1, w = — 1 sind, es sind diess die Nachbarpunkte des Doppel- 

 punktes. 



Aus der Gleichung (32) ergibt sich: 



(«),-(ti),=:3 + ^. 



Für einen Krümmungskreis gehen diese Gleichungen wegen 

 U2=zu3=zu^=: ti über in 



3 M 4- w, = — 



Eliminiren wir mit Hilfe der Gleichung (37) deli'^Parameter % 

 des Punktes, in welchem der Krümmungskreis die Strophoide schneidet, 

 so erhalten wir als Coordinaten des Krümmungsmittelpunktes 

 „_ Aau^ 

 '^"1+3^^ 



__a m^4-9m'^ 4-3^^4-3 (38) 



"'" 4 1+3m^ 



Die Parameter des Doppelpunktes sind-f-l? — 1> und die Coor- 

 dinaten der entsprechenden Krümmungsmittelpunkte sind ( — a, a), 

 (— a, — a). 



Aus GleichuDg (38) entnehmen wir, dass die Evolute der Stro- 

 phoide eine rationale Curve sechster Ordnung ist; wir erhalten die 

 Gleichung derselben als F («, ß) = 0, wenn wir aus den Gl. (38) 

 den Parameter u eliminiren. 



Um die Gleichung des Involutionskegelschnittes nach Gl. (17) zu 

 bekommen, drehen wir die Coordinatenaxen um 45°, d. h. wir wählen 



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