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Addiren wir diese drei Gleichungen, so erhalten wir wegen 



Wi^ + ^i^ + ^3^ = — 2 (% ^2 + ^2 % + ^3 %) = — 2 (m)2 



«ij ^2 «^3 2/ -f- [1 — (% % + % **3 + % %)] ^ — a = 

 oder (m)3 ^ + [1 — (^)2] x — a — 0. 



Nach Gl. (12) ist: 



(w)2 = A, (w)3 = — i* ; 

 führen wir diese Werthe in die obige Gleichung ein, so erhalten wir 

 — fiy-^il — k)x — a — 0... (13) 



Zwischen den Coefficienten der cubischen Gleichung (12) findet 

 demnach eine lineare BediDgungsgleichung statt, somit die Involution 

 nachgewiesen; setzen wir nun den Werth für u aas Gl. (13) in die 

 Gl. (12) ein, so erhalten wir 



u^y -{- X — a -i- X(uy — x") = (14) 



als Gleichung der Punktinvolution auf der Cissoide in normaler Form. 

 Jedem Werthe von A entspricht eine Gruppe von drei Punkten, als 

 Wurzeln der Gl. (14). 



Die Parameter der Doppelpunkte der Involution erhalten wir, 

 indem wir die Diskriminante der Gl. (14) gleich Null setzen. Wir 

 erhalten demnach: 



^yu''—3xu'-{-(a — x) = 0. (15) 



Im allgemeinen ist nun die Diskriminante einer cubischen Glei- 

 chung in Bezug auf u eine Gleichung vierten Grades; eine cubische 

 Involution besitzt also im allgemeinen vier Doppelpunkte. 



Da das Glied tt'* fehlt, so ist eine Wurzel der Diskriminante 

 gleich unendlich, unabhängig von der Lage des Punktes (xy). u=zco 

 ist aber der Parameter des Rückkehrpunktes ; wir sehen demnach, 

 dass der Rückkehrpunkt der Cissoide ein allen Involutionen auf der- 

 selben gemeinschaftlicher Doppelpunkt ist. 



Die Wurzeln der Gl. (15) seien u% u'\ u"'\ es sind dies offenbar 

 auch die Parameter der Berührungspunkte der durch den Punkt {xy) 

 an die Cissoide gehenden Tangenten. 



Die Gl. (15) erhielten wir früher direkt ausder Gl. der Sekante 

 durch Gleichsetzung m^^ = Mo. Wir erhielten so die Gleichung der 

 Tangente im Punkte w, bei gegebenem Berührungspunkte. Ist nun 

 a;, y gegeben und u unbekannt, so bestimmen wir aus Gl. (15) die Pa- 

 rameter der Berührungspunkte. Wir sehen, aus einem Punkte in der 

 Ebene der Cissoide lassen sich immer drei Tangenten ziehen, demnach 

 ist die Cissoide eine Curve dritter Ordnung und dritter Classe. 



10. Schnittpunkte der Cissoide mit einem belie- 

 bigen Kreise. 



