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oder mit einer Lemniscate, wenn beide Curven einen gemeinschaft- 

 lichen Doppelpunkt o besitzen, bilden bemerkenswerthe Punktsysteme 

 sowohl auf der einen, als auch auf der anderen Curve. 



Gehen wir für heute von der Focale aus. Dieselbe ist eine cy- 

 klische Curve dritter Ordnung mit einem Doppelpunkte o, dessen 

 Tangenten 2\ Tn auf einander senkrecht stehen, so dass also die beiden 

 imaginären Kreispunkte +*, — i zwei conjugirte Punkte der Curve 

 sind, d. h. zwei Punkte, deren Tangenten sich in einem (reellen) Cur- 

 venpunkte schneiden. Siehe AI cuni teoremi iatorno alla focale anoeud 

 (giornale di Battaglini, Napoli 1872), Wenn man als Parameter irgend 

 eines Punktes u der Focale den Werth u des Theilverhältnisses an- 

 nimmt, nach welchem der Strahl ou den Winkel (5\ T^) der Doppel- 

 punktstangenten theilt, so lautet die Bedingung dafür, dass die 

 3 n-Punkte u^ u^ . . . u^n Schnittspunkte der Focale mit einer Curve 

 w-ter Ordnung sind: 



U^.U^.U^ Wgn = Jř". (1) 



wobei K eine nur von der Focale abhängige Constante ist. (Siehe 

 Sitzungsbericht vom 27. April 1870 : „Zur Geometrie der Curven 

 dritter Ordnung.") 



Die Parameter der unendlich fernen imaginären Kreispunkte 

 sind -f * und — i ; die Parameter des Doppelpunktes (als auf den 

 beiden Zweigen liegend) sind dz ^ und 0. 



Für drei Punkte % u^ Wj, welche auf derselben Geraden liegen, 

 hat man speziell: 



% u.^ Mg — E. (2) 



Wenn u^^z-}- i m^ = — i ist, so ist u^ der Parameter des 

 dritten Schnittpunktes der unendlich fernen Geraden mit der Curve ; 

 die Gleichung (2) lautet für diesen Fall: 



oder W3 = K. 



Es ist somit K der Parameter des reellen, unendlich weiten 

 Punktes der Focale ; aus der Definition des Parameters eines Punktes 

 folgt, dass K die goniometrische Tangente des Winkels ist, den die 

 reelle Asymptote der Focale mit der Doppelpunktstangente T^ bildet. 



Wenn u' der Tangentialpunkt des Punktes ti ist, d. h. der 

 Schnittpunkt der Curve mit der Tangente des Punktes u; so gilt die 

 Gleichung : 



oder 





