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Der Schnittpunkt u^ des Krümmungskreises der Focale im 

 Punkte u folgt aus der Gleichung 



u^ u^ = K'^ 

 d. h. 



Für den Berührungspunkt hat man: 



3 



Es gehen somit durch jeden Punkt u^ drei Krümmungskreise. 

 Wenn wir der Berührungspunkte mit u^ Wg u^ bezeichnen, so folgt 

 aus der letzten Gleichung, dass 



3 



Wo w, u. zz: 



" - ^ u^ 



oder aber 



% u^ M3 M4 == K"^ 

 ist. D. h. 



„Durch jeden Punkt der Focale gehen drei, in an- 

 deren drei Punkten osculirende Krümmungskreise. 

 Die drei Berührungspunkte liegen mit dem ursprüng- 

 lichen Punkte allemal wieder auf einem Kreise." 



Die Tripel der Osculationspunkte bilden, wie aus der Gleichung 



3 



hervorgeht, eine cubische Punktinvolution auf der Focale, welche zwei 

 dreifache Punkte besitzt. Diese entsprechen den Werthen % =: 0, 

 Uj^ zzz CO und geben resp. w =: 00 , m zz 0. Dieselben sind somit die 

 Nachbarpunkte des Doppelpunktes. 



Der Kreis wird ein doppelt berührender Kreis der Focale, wenn 

 % =zu^, u^ = W4 ist. Für die beiden Contaktpunkte % , u^ hat man 

 die Gleichung: 



somit 



u^ u^ z=z± K. 

 Hieraus erkennt man, dass es zwei reelle Systeme von doppelt- 

 berührenden Kreisen gibt. 



Schreibt man die letzte Gleichung in der Form 

 (Ijl 1) Mj^ ^2 = -BT 

 so erkennt man, dass die Contaktpunkte eines doppeltberührenden 



