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Kreises mit einem der beiden Punkte -^-l, — 1 in gerader Linie 

 liegen. Diese Punkte +1, — 1 sind die Schnitte der Focale mit 

 den beiden Halbierenden des Winkels der Doppelpunktstangenten 



Scheitel hat die Focale vier, von denen jedoch nur zwei reell 

 sind und auf der Curvenschleife sich befinden. In einem Scheitel 

 wird nämlich die Curve in vier unendlich nahen Punkten von einem 

 Kreise geschnitten. Für einen solchen ist somit % zi:Uo=: u^ =:u^=: 

 u also 



oder u^ — =hK 



und schliesslich 



uz=z:^YK oder uzz: + iYK 

 Die Berührungspunkte dieser vier stationären Krümmungskreise, 

 d. h, die Scheitel der Focale sind die Berührungspunkte der, aus 

 den Punkten -f- 1) — 1 der Curve an sie gelegten Tangenten, wie aus 

 dem Vorhergehenden klar wird. 



3. Wenn zu der ursprünglichen Focale eine zweite hinzukommt, 

 so schneiden sich beide im Ganzen in neun Punkten, von denen zwei 

 die imaginären Kreispunkte + *, — i sind. Wenn wir also die sieben 

 weiteren mit Wj u., . . .u, bezeichnen, so muás: 



M^ tť, M3 W4 W5 Wg u. (-}- i) ( — i) :z:z K^ 

 oder 



M^ W2 W3 M4 % Wg Mj rz: — K^ 

 sein. 



Haben nun die beiden Focalon überdiess den Doppelpunkt ge- 

 meinschaftlich, so absorbiert derselbe 4 weitere Schnittpunkte. Es 

 seien u^ u^ und u^ n^ die Schnitte der beiden Curvenzweige der zweiten 

 Focale mit der ursprünglichen und ferner u' und u" die Schnittpunkte 

 der ursprünglichen Focale mit den Doppelpunktstangeuten der zweiten; 

 dann ist ^ W u" = 90*^. Ferner folgt zwar m^ uz co , m^ =0 und 

 Ug zr CO , w. =: aber : 



u^ u^u' zzzK 

 Wg u^ u" zzi K 



VI 



so dass u. Ur u. u. z=z ist. Weil jedoch ^u'ou'' = 90''i so ist 



u' u" = — 1, somit ttj u^ Uq u^—— K\ so dass die obige Relation 

 übergeht in : 



Mj i*2 U^ Z=Z K^ 



d. h.: 



