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„Zwei Focalen, welche einen gemeinschaftlichen 

 Doppelpunkt besitzen, seh neiden sich in drei in einer 

 Geraden liegenden Punkten." 



4. Bringen wir nun schliesslich mit der ursprünglichen Focale 

 eine Lemniscate in Verbindung, welche denselben Doppelpunkt o be- 

 sitzt. Dieselbe schneidet die Focale in zwölf Punkten, von denen in 

 jedem der beiden imagiBären Kreispunkte als einem Doppelpunkte 

 der Lemniscate zwei vereinigt sind. Für diese und die übrigen acht 

 gilt dann die Gleichung 



t/j Mo Wg U^ «5 ?<g U. Mg {~\-ÍÝ ( — 0" = -^^ 



oder 



^1 **2 ^3 ^*4 ^5 '^*6 **7 ^*8 — ^*- 



Ist nun abermals u^ u^ das Schnittpunktepaar des einen und 

 u^ Mg jenes des anderen Lemniscatenzweiges mit der Focalen und 

 sind u' und u" die Schnitte der Focale mit den Doppelpunktstan- 

 genten der Lemniscate, so ist Mj = co Mg =0, m. =z oo , Mg = 0, aber 



u. Mg m' — ÜT, M. Mjj u"-:=.K, somit m- Mg M^ Mg =: —j—jy ■ Da ^ m' u" IZ 90° 



ist, so ist u' u" = — 1 und folglich Mj Mg m. Mg = — K"^. Für die übrigen 

 Schnitte gilt somit die Gleichung : 



u^ Mo M3 11^ ( — K^) =z K'^ 

 oder : 



M^ ^řo M3 M^ := — K"^ . 



Schreibt man diese Gleichung z. B. in der Form 



Mj Mg M3 ( — M4) r= K'^, 



SO sieht man, dass die vier Punkte m, m^ Wg und — u^ in einem und 

 demselben Kreise liegen. Nun ist ( — m^) der zu u^ conjugirte Cur- 

 venpunkt und wir haben somit den Satz: 



„Eine Lemniscate, welche mit einer Focale á noend 

 den Doppelpunkt gemeinsam hat, schneidet sie in vier 

 Punkten, von denen je drei mit dem, dem vierten con- 

 jugirten Punkte in einem und demselben Kreise 

 li egen." 



