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Ebenso leicht lassen sich die Erzeugnisse mehrdeutiger Tan- 

 gen tenbysteme aiif einer razionalen ebenen Curve s-ter Classe be- 

 handeln. Zwei solche m — n deutige Tangenteusysteme erzeugen eine 

 Curve (s — 1) (w-|-w)-ter Ordnung. Ein symmetrisches Tangenten- 

 system n-ten Grades erzeugt eine Curve n (s — i)-ter Ordnung. Eine 

 Tangenteniuvolution w-ten Grades erzeugt eine Curve (n — 1) (s — i)-ter 

 Ordnung. 



Wenn C, eine razionaie Raumcurve s-ter Ordnung ist und sich 

 auf derselben zwei m — w-deutige Punktsysteme befinden, so wird 

 das Erzeugniss der beiden Systeme aus der Gesaramtheit der ent- 

 sprechende Punkte verbindenden geraden Linien bestehen, d. h. eine 

 windschiefe Fläche sein. Um den Grad dieser Fläche zu bestimmen, 

 haben wir die Zahl der Erzeugenden zu bestimmen, welche eine will- 

 kürliche Gerade G treffen d. h. mit ihr in derselben Ebene sich 

 befinden. Nun bestimmen die durch G gehenden ein Ebenenbüschel 

 bildenden Ebenen auf der Curve C, eine Punktiuvolution s-ten Grades, 

 welche mit den beiden Punktsystemen (s — 1) {m-{- n) gemeinschaft- 

 liche Punktepaare besitzt, von denen jedes zu einer die Gerade G 

 schneidenden Erzeugenden der Regelfläche Veranlassung giebt. Wir 

 haben somit den Satz : 



„Zwei auf einer razionalen Raumcurve s-ter Ord- 

 nungbefindlichen m — w-deutigen Punktsysteme erzeugen 

 eine Regel fläche (s — 1) (íw + w)-ter Ordnung". 



Für diese Regelfläche ist die Raumcurve Cs eine 

 (w + w)-fache Curve, da durch jeden Punkt derselben {m-\-n) 

 Erzeugende der Fläche hindurchgehen. Es sind dies diejenigen Ge- 

 raden, welche den Punkt mit jenen Punkten verbinden, welche ihm 

 im w-deutigen und im w-deutigen Systeme entsprechen. 



Jede Erzeugende der Regelfläche schneidet eine bestimmte Anzahl 

 anderer Erzeugenden in Punkten, welche einer Doppelcurve der Fläche 

 entsprechen. Da die, durch irgend eine Erzeugende gehenden Ebenen 

 auf der Raumcurve C, eine Involution (s — <S)-ter Ordnung bestimmen 

 und diese mit den m — w-deutigen Systemen (s — 3) {m-\- n) ge- 

 meinschaftlichen Elemeutenpaare besitzt, so erkennen wir: „dass 

 jede Erzeugende der behandelten Regelfläche {s — 3) 

 (m-f-n) andere Erzeugende in Punkten einer Doppel- 

 curve schneidet". 



In ähnlicher Weise ergeben sich die Resultate: 



„Ein, auf einer razionalen Raumcurve s-ter Ord- 

 nung befindliches symmetrisches Elementensystem 



