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Regelfläche vierten Grades, für welche die Raumcurve 

 eine Doppelcurve ist." 



„Eine Punkt-Involution zweiten Grades auf einer 

 Raumcurve dritter Ordnung erzeugt eine Regelfläche 

 zweiten Grades (Hyperboloid)." 



Umgekehrt kann jede Regelfläche zweiten Grades auf unendlich 

 viele Arten durch quadratische Involutionen von Punkten auf Raum- 

 curven dritter Ordnung erzeugt werden. 



„Eine cub ische Punktinvolution auf einer Raum- 

 curve dritter Ordnung erzeugt eine Regelfläche vier- 

 ten Grades, für welche die Raumcurve eine Doppel- 

 curve ist." 



Schliesslich möge noch auf eine besondere Eintheilungsart der 

 Regel flächen vierter Ordnung aufmerksam gemacht werden. 

 Bekanntlich besitzt jede Regelfläche vierter Ordnung eine räumliche 

 Doppelcurve C^ dritten Grades. Nun lässt sich leicht nachweisen, dass 

 durch jeden Punkt x dieser Doppelcurve zwei Erzeugende der Fläche 

 hindurchgehen müssen. Denn der Kegel, dessen Leitlinie C^ und 

 dessen Scheitel x ist, ist ein Kegel zweiten Grades und wird die 

 Fläche daher in einer Curve achter Ordnung schneiden. In diesem 

 Schnitte ist die Doppelcurve als Bestandtheil 2.3 = 6ter Ordnung 

 enthalten, so dass noch ein weiterer Theil zweiter Ordnung übrig- 

 bleibt. Dies können jedoch nur zwei durch x gehende gerade Linien 

 (Kegelkanten) sein, da , im Falle der Schnitt ein Kegelschnitt wäre, 

 jede Kante des mehrerwähnten Kegels mit der Regelfläche fünf 

 gemeinschafliche Punkte hätte was nicht angeht. 



Die beiden durch x gehenden Erzeugenden bestimmen auf Cj. 

 zwei neue Punkte y^ y<, , welche wir als dem Punkte x entsprechende 

 Punkte betrachten können. 



Da der Punkt x jedem der Punkte y ebenso entspricht, wie 

 die letzteren dem ersteren, so erhalten wir auf O3 offenbar ein sym- 

 metrisches Punktsystem 2ten Grades. Wir sehen somit: 



„Die Erzeugenden einer allgemeinen Regelfläche 

 vierten Grades schneiden die Doppelcurve (dritter 

 Ordnung) in entsprechenden Punkten eines symmetri- 

 schen Punktsystems zweiten Grades." 



Umgekehrt ist somit das Erzeugoiss eines auf einer Raumcurve 

 dritter Ordnung befindlichen symmetrischen Punktsystems zweiten 

 Grades eine allgemeine Regelfläche vierter Ordnung. 



Da ein symmetrisches Elementensystem vier Elemente hat, 



