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welche sich selbst entsprechen und ferner vier solche Elemente, 

 denen zusammenfallende Elemente entsprechen, so schliessen wir: 



„Unter den Erzeugenden der Regel fläche gibt es 

 vier, welche die Doppelcurve C^ berühren." 



„Auf der Doppelcurve C^ gibt es vier Punkte, durch 

 welche zusammenfallende Erzeugende hindurchgehen 

 (Cuspidalpunkte)." 



In ähnlicher Weise Hessen sich andere Eigenschaften dieser 

 Flächen entwickeln. Das symmetrische Punktsystem zweiten Grades, 

 dessen Erzeugniss die Regelfläche ist, kann sich in verschiedener 

 Art spezialisiren. 



1) Das symmetrische Punktsystem geht über in eine cubische 

 Punktinvolution. In diesem Falle gehen die Ebenen, welche durch 

 die Tripel entsprechender Punkte gelegt werden können, insgesammt 

 durch eine feste Gerade L, welche als Leitlinie der Fläche auftritt. 

 In der That ist die cubische Involution durch zwei Punktegruppen 

 bestimmt, welche wieder zwei, sich in einer Geraden L schneidende 

 Ebenen bestimmen. 



Jede durch L gehende Ebene trifft die Raumcurve C^ in einem 

 neuen Tripel entsprechender Punkte, so dass die Regelfläche durch 

 Bewegung einer Geraden erzeugt werden kann, welche längs der festen 

 Geraden L so hingleitet, dass sie die Raumcurve O3 zweimal durch- 

 schneidet. Jede durch L gehende Ebene ist somit, weil sie drei 

 Erzeugende enthält, eine dreifach berührende Ebene. Auch hier gibt 

 es vier die Raumcurve berührende Erzeugende und vier Cuspidal- 

 punkte, welche in den vier durch L gehenden Tangentialebenen der 

 Raumcurve C3 liegen. 



2) Das symmetrische Punktsystem zweiten Grades wird durch 

 zwei projektivische Punktsysteme auf C^ dargestellt. Denn hat man 

 zwei solche Systeme auf C^, so kann man jeden Punkt x der Curve 

 einmal zu dem einen und das anderemal zu dem anderen Systeme 

 rechnen und erhält so zwei entsprechende Punkte y^ y^,. 



Die beiden Doppelpunkte der projektivischen Punktsysteme sind 

 hier die Cuspidalpunkte und deren Tangenten sind die , die Raum- 

 curve berührenden Erzeugenden. Dieser Fall tritt immer ein, wenn 

 im allgemeinen Falle je zwei Cuspidalpunkte zusammenfallen. 



Wir könnten daher die Regelflächen in drei Arten eintheilen: 

 I. Allgemeine (symmetrische) Regelflächen vierter 

 Ordnung, deren Erzeugende* auf der Doppelcurve ein symmetri- 

 sches Punktsystem zweiten Grades bestimmen. Dieselben haben vier 



