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Cuspidalpunkte auf der Doppelcurve, und vier diese berührende 

 Erzeugende. 



Als Unterabtheilungen könnten betrachtet werden: 



a) Regelfläche mit zwei zusammenfallenden Cuspidalpunkten 

 (wobei auch zwei berührende Erzeugende zusammenfallen). 



b) Regelfläche mit drei zusammenfallenden Cuspidalpunkten (und 

 berührenden Erzeugenden). 



c) Regelfläche mit vier zusammenfallenden Cuspidalpunkten (und 

 berührenden Erzeugenden). 



II. In vol utorißche Regelflächen vierter Ordnung, 

 deren Erzeugende auf der Doppelcurve eine cubische Involution er- 

 zeugen. Je drei Erzeugende liegen in einer durch eine feste Gerade L 

 gehenden (dreifach berührenden) Ebene. Von den vier Cuspidalpunkten 

 liegt je einer mit je einer berührenden Erzeugenden in einer durch 

 L gehenden Ebene. Auch hier hat man Unterabtheilungen: 



a) Involutorische Regelfläche mit zwei zusammenfallenden Cuspi- 

 dalpunkten (und berührenden Erzeugenden). Dieser Fall tritt ein, 

 wenn die cubische Punktinvolution einen dreifachen Punkt besitzt. 

 Die Gerade L liegt hier in einer Schmiegungsebene der Raumcurve C\. 



h) Projektivisch-involutorische Regelflächen. Dieser Fall tritt 

 ein, wenn je zwei Cuspidalpunkte (und berührende Erzeugende) 

 zusammenfallen, d. h. wenn die cubische Panktinvolution zwei drei- 

 fache Punkte besitzt. In diesem Falle bildet die Involution zugleich 

 projektivische Reihen. Die Gerade L ist in diesem Falle die Schnitt- 

 linie zweier Schmiegungsebenen von C.^, d. h. eine Axe der Doppelcurve. 



III. Projektivische Regelflächen vierter Ord- 

 nung, deren Erzeugende auf der Doppelcurve C^ entsprechende 

 Punkte zweier projektiviscben Reihen bestimmen. Man hat hier zwei 

 Cuspidalpunkte und zwei berührende Erzeugende. Dieser Fall tritt 

 ah Spezialfall des allgemeinen Falles (I) auf, wenn von den vier 

 Cuspidalpunkten je zwei zusammenfallen. Der Specialfall (II, h) ist 

 hinwieder ein besonderer Fall dieses Falles (III). Aus der Theorie 

 der symmetrischen Elementensysteme zweiten Grades und der cu- 

 bischen Involutionen folgt: 



„Eine allgemeine Regelfläche vierter Ordnung 

 ist bestimmt, sobald man ausser der Doppelcurve 

 Cg fünf Erzeugende kennt." 



aEine involutorische Regel fläche vierter Ord- 

 nung ist bestimmt, sobald man ausser der Doppel- 

 curve zwei Tripel von Erzeugenden kennt. Ein 



