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bezüglich Mj und bezüglich ^2? "i^d die Vertauschungsfähigkeit (In- 

 volution) folgt aus der Symmetrie dieser Gleichung. 



Für die Doppelpunkte der Involution (die wir kurz als die In- 

 volution {x^y) bezeichnen werden) erhalten wir u^ =:u^ = u setzend 

 die Gleichung: 



2yu — x(u^ -{-• q)=:2p 

 oder : 



X X 



aus welchen für die Parameter u^^ u\^ der Doppelpunkte die Werthe 

 folgen 



^^ _ _^ Uy^ __ 2p -^-gx _ y -{-Vy^^^^x^qx^ ] 



18 /y, I 



U in — 



X ' 1 X" X X I /^jj 



y — V"e/^ — 2px — qx^ 



'^- X J 



Es sind dies offenbar auch die Parameter der Berührungspunkte 

 der beiden durch den Punkt (xy) an die Curve gehenden Tangenten, 

 deren Gleichungen dann, wenn wir deren laufende Coordinaten mit 

 I und 7} bezeichnen, nach V lauten: 



^^ ydtYjř — ^px — q íx^ _ I U y±:Yy''—2 px — qx''V^ _^ ^^ 1^^ 



oder aber Í V^Vy^ — 2px — qx'^ \ 



V [~=- —' j - 



^ (XII) 



_ J y^ —px±iy Yy ^ — 2px — qx- \ _ 

 ^ x" ^ 



Die beiden durch {xij) gehenden Tangenten sind reell, zusammen- 

 fallend oder imaginär, je nachdem 



y- ^ 2px -\- qx'^ 

 ist ; dies ist zugleich das Kriterium hiefür, ob der Punkt {xy) ausser- 

 halb, auf, oder innerhalb unseres Kegelschnittes liegt. 



Die Gleichung der Involution, welche der Punkt {xtf)^ d. h. die 

 durch diesen Punkt gehenden Strahlen auf der Curve bestimmen, 

 hat nach früherem die Gleichung: 



y (i*j -{- u^) — x{u^u^ -{-q)z=:2p 



Diese Gleichung geht für a; = oo aber in 



M1W2 + Í = 



und in der That wird in diesem Falle die Involution aus zur «/-Axe 



symmetrischen Punktepaaren bestehen, was auch aus der Gleichung 



der Involution nach VI hervorgeht. 



