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Für y=:(X) werden die Punktepaare der Involution symmetrische 

 Punkte bezüglich der x-Axe sein und in der That geht die Involu- 

 tionsgleichung über in 



Uj^ -]- u^ zzz 

 was mit VII vollkommen übereinstimmt. 



Wenn der Punkt (xt/) [das Centrum der Involution] ein un- 

 endlich weiter Punkt ist, dessen Richtung mit der x-Axe den Winkel (i 



bildet, so istit;z= oo,í/ = co, ^--zztgii^ so dass die lavolutionsglei- 



chung übergeht in : 



tg^i {u^ -\- u^) — (%«*2 -^q)z^O 

 aus welcher wir leicht die Parameter jener zwei Punkte finden können, 

 in welchen die beiden mit der it;-Axe den Winkel u bildenden Tan- 

 genten unsere Curve berühren. Es sind diese Punkte die Doppel- 

 punkte der Involution und somit haben wir für dieselben die Gleichung 



2tgii. u — {u^ + ^) — 

 woraus folgt 



u =:: tg^i zh jTtg'^i^ — Q, 

 Dass diese beiden Punkte diametrale Punkte sind, folgt ana- 

 lytisch daraus, dass das Produkt ihrer Parameter z=:q ist (VIII). 



Wenn der Curvenmittelpunkt das Centrum der Involution ist, 

 so sind die diametralen Punkte entsprechende Punkte der Involution. 



Und in der That haben wir für diesen Fall «/ = 0, x=: — — , somit 



die Involutionsgleichung : 



Y (^1^2 + ü) = ^P 



oder u-^u^ = q 



was mit (Vni) übereinstimmt. 



10. Pol und Polare. 

 Die Parameter der Berührungspunkte der beiden durch den 

 Punkt (xtj) gehenden Tangenten des Kegelschnittes folgen aus der 

 Gleichung : 



w- --u-\ — ^ — 



30 das?, wenn wir sie mit w,2 und u^^' bezeichnen, nach bekannten 

 Sätzen über quadratische Gleichungen ist: 



u u '- ^^ + g^ 



