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Uiu) = — ^^ ŽJ{uuu)=z ^^^ 



woraus folgt: 



Z(uuu)-{-q2J{u)'=zO (a) 



Diese Gleichung drückt somit (da in ihr keine Elemente der 

 Kreisgleichung vorkommen) die allgemeine Bedingung dafür aus, 

 dass die vier Punkte u^ u^ % u^ des F- Kegelschnittes auf einem 

 und demselben Kreise liegen. 



Schreibt man die Gleichung («) in der Form: 



(% W2 + 2) (W3 4- W4) + K «*4 + 3) (**i + «*2) = 



oder 



^i%+g ■■ %^4 + g ....(«') 



% "h **2 W3 + 4*4 -^ 



und berücksichtigt man, dass (nach Gleichung III Art. 3) linker und 

 rechter Hand die resp. positive und negative Ricbtungsconstante 

 der Geraden u^u^, u^u^ stehen, so ergibt sich der bekannte Satz : 



„Je zwei Gegenseiten des Viereckes u-^u^Uj.u^^ dessen Scheitel 

 die Schnitte eines Krgelschnittes mit irgend einem Kreise sind, 

 bilden mit den Axen des Kegelschnittes gleiche Winkel.* 



Es ist bekannt, wie einfach sich aus diesem Satze eine Con- 

 struktion des Krümmungskreises für Kegelschnitte ergibt. 



Wenn man den Kegelschnitt mittelst eines beliebigen Kreises 

 in den vier Punkten w^ % % W4 schneidet, ferner durch u^ % und 

 ebenso durch u^ u^ neue Kreise legt, welche dea Kegelschnitt, resp. 

 in M3' M4' und %' %' schneiden mögen, so liegen die neuen vier 

 Schnittpunkte w^' Wj' Wg' w^' abermals auf einer und derselben Kreis- 

 peripherie. 



Denn es ist nach («'): 



**1 *~l~ ^2 **8 4^ ^4 



^1 +% ^3'-]- W4' 



W3+W4 Wi'-j-Wj' 



woraus aber sofort folgt, dass auch: 



%''~h^*2' i*3' + W4' 



d. h., dass auch die vier Punkte Uy u^ u^' n^' auf einem und dem- 

 selben Kreise liegen. 



