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26. Krümmungshreise der Kegelschnitte. 



Wenn von den vier Schnittpunkten u^ Wo % **4 ^^^^ zusammen- 

 fallen, so wird der Kreis zum Krümmungskreise des J^- Kegelschnittes 

 im betreffenden Punkte. 



Es sei also u^ =: ti^ = u^ r=z u der Parameter des Osculations- 

 punktes und % der Parameter des Schnittpunktes des Krümmungs- 

 kreises mit dem i'^-Kegelschnitte, dann hat man nach cc zwischen u 

 und ÍÍ1 die Gleichung: 



u^ -{- Biru^ -\- dg[u -j- g,U;^ = . . . (/3) 

 Aus derselben ergibt sich für den Schnittpunkt Wj des Kegel- 

 schnittes und des Krümmungskreises des Punktes u die Formel: 



(u^ + 3q)u 



^ 3m^ + iZ 



Der Schnittpunkt % fällt mit dem Osculationspunkte zu- 

 sammen für: 



uzzzO u=: cx> u =z-{- y — q uzz. — V — q 

 und in der That sind dies die Parameter der vier Scheitel des 

 Fundamental-Kegelschnittes. 



27. Fortsetzung. 



Aus der Gleichung {ß) folgt auch der bekannte Satz, dass durch 

 jeden Punkt u^ des JT'-Kegelschnittes drei Krümmungökreise hin- 

 durchgehen, deren Osculationspunkte mit dem Punkte w^ abermals 

 auf einem Kreise liegen. 



In der That liefert die Gleichung {ß) für irgend ein % drei 

 Werthe von u\ es seien u^^u^^u^ diese drei Werthe, dann ist be- 

 kanntermassen : 



% + % + ^4 = — 3% 



% '^3 + "^3 ^4 ~l~**4 ^2 ^^ ^2 

 W2 M3 M4 = — qUi . 



Wenn man die erste dieser Gleichungen in der Form schreibt : 

 2Ju = — 2% 

 ferner die zweite mit u^ multiplicirt und zur dritten addirt, so 

 erhält man 



Zuuu — ■+■ 2g;%, 

 woraus sofort folgt: 



2uuu~\^q2Ju —0 

 zum Zeichen, dass die vier Punkte Wj % % ^9 wirklich auf einem und 

 demselben Kreise liegen. 



