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den Punkt q\ der mit q die Strecke « ß harmonisch 

 theilt, und zieht rq\ sq\ so sind diese Geraden Tan- 

 genten der C^ in r, s. Ferner gibt es einen Kegel- 

 schnitt, welcher in «, & die Geraden ag, Iqm r^ s aber 

 die C* berührt. 



Trifft a h den Q m x, y und sind X, Y die Tangenten für 

 diese Punkte, ist z ihr Durchschnittspimkt, so liefern X, Y, wenn 

 man sie zur Construction verwendet^ die Punktepaare ď^, d^\ dg, d^ 

 und es sind dies die Berührungspunkte der Doppeltangenten von v; 

 demnach gibt es einen Kegelschnitt ď, welcher in a, l die Geraden 

 az^hz berührt und durch dj, d^, dg, d^ geht. Die Tangenten der 

 C* im Doppelpunkt a fallen Diit den Tangenten von a aus an Q 

 zusammen, eben so verhält es sich bei h. Hieraus folgt sogleich, 

 dass as der vierte harmonische Strahl zu ha in Bezug auf das Tan- 

 gentenpaar in a ist, so dass z unverändert bleibt, wenn wir für v 

 einen der drei anderen Punkte v\ v'\ v'" setzen. 



Anmerkung. Berühren sich Q^ fl, so wird der Berührungs- 

 punkt ein Doppelpunkt für die C"*, gibt es zwei Berührungspunkte, 

 so zerfällt C-* in 2 Kegelschnitte. Wenn aber ah eine Taugente von 

 Q ist, so zerfällt C^ in eine durch a, h gehende allgemeine G^ und 

 die Gerade a h. Dann wird v ein Curvenpunkt, der Kegelschnitt 

 die conische Polare von v in Bezug auf C. 



4. Aus dem Vorstehenden wird der Satz abgeleitet: 



„Jedes der vier Systeme von Kegelschnitten, 

 welche durch die Doppelpunkte«^, deiner 0^ gehen, und 

 diese Curve überdies in 2 Punkten berühren, besteht 

 aus den conischen Polaren der Punkte eines Kegel- 

 schnitts P in Bezug auf eine Curve 3t er Ordnung mit 

 den beiden Doppelpunkten a^h. P ist dem von uns mit 

 Q bezeichneten Kegels chnitt involutorisch coUinear 

 für das Centrum v und die Axe ah. Sodann werden an die 

 BestimmuQgsweise der 4 Gruppen F, V\ F", F"' von Behrühruogs- 

 punkten der Doppeltangenten mit C"* nachstehende Folgerungen 

 geknüpft : 



a)Je zwei Gruppen kann man für zwei die C* er- 

 zeugende Kegelschnittbüschel als Basen verwenden. 



h) Ein beliebiger durch F gelegter Kegelschnitt 

 hat mit C* vier Punkte W gemein, welche auch mit 

 jeder der andern Gruppen in je einem Kegelschnitt 

 liegen; desgleichen mit den Doppelpunkten. 



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