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Herr Prof. Dr. Emil Weyr hielt folgenden Vortrag über die 

 involuforischen Winkelrelationen der Cardioide. 



In der Sitzung der naturwissenschaftlich-mathematischen Section 

 vom 16. Februar 1870 bewies ich im Vortrage „Über höhere Invo- 

 lutionen^ den Satz : 



„Besitzt eine Involution n -ten Grades zwei w -fache 

 Elemente, sog ruppieren sichdieElemente sämmtlicher 

 Gruppen zu projektivischen Gebilden." 



Gleichzeitig verwies ich auf eine bemerkenswerte Anwendung 

 dieses Theorems auf Curven w-ter Ordnung mit einem (w — l)-fachen 

 Punkte und zwei Inflexionstangenten (w— 2)-ter Ordnung. Dasselbe 

 Theorem benützte ich in der kurzen Abhandlung „So pra una 

 certa curva gobba di quart o r dine" (Rendi Conti del r. Insti- 

 tuto Lombardo, Milano 9. marzo 1871) und in der Abhandlung „In- 

 torno all' involuzione cubica nella quäle hanno luogo 

 proprietä anarmoniche" (ebendaselbst, 6. April 1871) machte 

 ich eine Anwendung des obigen Theoremes auf eine Curve dritter 

 Ordnung mit einem Doppelpunkte, welche in den imaginären Kreis- 

 punkten Inflexionspunkte besitzt. Für eine solche Curve ergibt sich 

 das Resultat, dass Strahlen, welche durch den (reellen) Schnittpunkt 

 der beiden imaginären Inflexionstangenten hindurchgehen, die Curve 

 in Gruppen von Punkten schneiden, welche vom Doppelpunkte aus 

 unter Winkeln von 60^ gesehen werden. Man gelangt zu diesem 

 Ergebnisse, wenn man das ausgesprochene Theorem mit folgendem 

 verbindet, welches ich zuerst in dem Aufsatze: „Die Erzeugung alge- 

 braischer Curven durch projektivische Involutionen" (Mathematische 

 Annalen von Clebsch und Neumann Bd. 3) aussprach: 



„Wenn die zwei dreifachen Strahlen einer cubi- 

 schen Involution durch die imaginären Kreispunkte 

 hindurchgehen, so theilen die einzelnen Gruppen den 

 vollen Winkel am Scheitel der Involution in Winkel 

 von 60"." 



Eine bemerkenswerthe Anwendung des vorher auseinander Ge- 

 setzten lässt sich auf die Cardioide machen. Wenn man nämlich 

 diese Cu^^ve als die Fusspunktcurve eines Kreises vom Mittelpunkte 

 betrachtet, wobei der Pol p auf der Kreisperipherie liegen muss, 

 so ergibt sich nach einer sehr einfachen Betrachtung, dass die Curve 

 ausser in p auch noch in den imaginären Kreispunkten Rückkehr- 

 punkte besitzt. Der Schnittpunkt der zugehörigen Rückkehrtangenten 

 ist der Halbierungspunkt m des Radius op. Die Cardioide ist somit 



