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Fläche T, so beschreibt bekanntlich die zweite Haupttangente X 

 ein einschaliges Hyperboloid, welches die Fläche T^ längs der Er- 

 zeugenden G oskulirt, d. h. welches durch G und die beiden dieser 

 Erzeugenden unendlich nahen Erzeugenden gelegt werden kann. Wir 

 wollen dieses Hyperboloid kurz mit H^ bezeichnen. Dieses Hyper- 

 boloid hat dann offenbar längs der Erzeugenden G dieselben Krüm- 

 mungsverhältnisse wie die allgemeinere Fläche T. Es genügt also 

 in der That ein Hyperboloid zu untersuchen, um die gestellte Frage 

 ganz allgemein zu beantworten. 



Um zu der fraglichen, von den Hauptkrümmungstangenteu 

 RyB^ erfüllten Fläche, die wir U nennen wollen, zu gelangen, haben 

 wir nun folgende Construktion durchzuführen. Jede durch G ge- 

 legte Ebene | schneidet H, ausser in G noch in einer zweiten Er- 

 zeugenden X, welche G im Berührungspunkte x von ^ und H^ 

 trifft. B^B^ sind dann die Halbirungslinien des Winkels {GX). 

 Gehen wir dieser Construktion auf den Grund, so finden wir Fol- 

 gendes : 



Das Hyperboloid H, trifft die unendlich weite Ebene des Rau- 

 mes (in welcher sich der imaginäre Kugelkreis J befindet) in einer 

 Linie zweiten Grades, welche wir mit V bezeichneu wollen. Auf F 

 liegt der unendlich weite Punkt y der Erzeugenden G^ durch welchen 

 die Stellung S jeder Ebene | des Büschels X hindurch geht. Jede 

 solche Stellung trifft V ausser in g noch in einem zweiten Punkte, 

 nämlich in dem unendlich weiten Punkte x' der Erzeugenden X, 

 welche in der Ebene | liegt. Durch das Ebenenbüschel {G) wird 

 die gerade Reihe der Berührungspunkte auf G projektivisch bezogen 

 auf die krumme Reihe der entsprechenden Richtungen x'. Jedem 

 Punkte X auf G entspricht dann ein einziger Punkt x' auf F, näm- 

 lich die Richtung der Erzeugenden X, welche in der Tangentialebene 

 I des Punktes x liegt. Das Erzeugniss dieser beiden projekti vischen 

 Punktsysteme ist das Hyperboloid i^- Um die in einer durch G 

 gehenden Ebene | liegenden beiden Erzeugenden B^^B^ von F zu 

 erhalten, geht man folgendermassen zu Werke. Die Stellung S der 

 Ebene ^ scheidet V in g und x\ und J in i-^% ; man betrachtet nun 

 diese zwei Punktepaare gx,^ \% als einer Involution zweiten Grades 

 angehörig und verbindet die Doppelpunkte d^d^^ dieser Involution 

 mit dem Berührungspunkte x der Ebene |. Dann sind xd.^ und xd^ 

 die beiden in | liegenden Hauptkrümmungstangenten und Erzeu- 

 genden von F. 



Der Ort der Doppelpunkte ď^ďo ist nun bekanntlich eine Curve 



