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umkehren und folgenden Satz beweisen: Wenn drei Curvenpunkte 

 % m n die Eigenschaft haben, dass der Tangentialpunkt eines jeden 

 auf der Verbindungslinie der beiden anderen liegt, so bilden diese 

 drei Punkte ein Inflexionstripel. 



Beweis. (Fig. 3.) Verbindet man a 

 mit einem beliebigen Wendepunkte a durch 

 eine Gerade, welche die Curve in p treffe, 

 so wird die Curve von einem Kegelschnitte 



in^ und a osculirt. Mithin (10. Zusatz) giebt A. / / d 



es einen zweiten Kegelschnitt, der in p und 

 w, und einen dritten, der in p und n oscu- 

 lirt. Dann aber treffen nach einem bekannten 

 Satze die Geraden p m und p n die Curve 

 in zwei Wendepunkten ß und y. Wenn man 

 nun, wie Herr Küpper bei dem Beweise dieses Satzes that, nicht 

 bloss die Punkte a m w, sondern auch den Wendepunkt a als reell 

 voraussetzt, so folgt, dass auch ß und y reell sein müssen, und, 

 da die drei reellen Wendepunkte in einer Geraden liegen, dass a in n 

 ein Tripel bilden. Es ist aber von Wichtigkeit, dass die Wende- 

 punkte a ß y auch dann in gemder Linie liegen müssen, wenn 

 man die Voraussetzung der Piealität der Punkte fallen lässt, und na- 

 mentlich unter dem Punkte a einen ganz beliebigen Wendepunkt 

 versteht. Zunächst ist klar, dass die Punkte m und n zu der lüfle- 

 xionsgruppe gehören, welche durch a und den Wendepunkt a be- 

 stimmt wird (2). Wenn nun der mit a und ß in gerader Linie liegende 

 Wendepunkt nicht der auf p n liegende y, sondern irgend ein anderer 

 Ó wäre, so ziehe man p) ó und schneide damit die Curve in d, 

 dann gehört auch d zu der nämlichen Infi* xiousgruppe, wie a, m 

 und n ; und a m d bilden ein Tripel. Also müsste (5) der Tangen- 

 tialpunkt von d auf a m liegen ; aber auf a m liegt der Annahme 

 nach der Tangentialpunkt von n, dieser müsste daher mit dem von 

 d zusammenfallen, und das ist nach (6) nicht möglich. Demnach 

 liegen die Wendepunkte a ß y in der That in gerader Linie, und 

 a m n bilden ein Tripel. 



Bemerkung. In dem Vorigen ist zugleich folgender Satz 

 enthalten: Haben amn die Eigenschaft, dass der Tangentialpunkt 

 jeder dieser Punkte auf der Verbindungslinie der beiden anderen 

 liegt, und zieht man aus a durch einen beliebigen Wendepunkt cc 

 eine Gerade, welche die Curve in p trifft, so gehen die Strahlen 



