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p m und p n durch zwei mit a in gerader Linie liegende Wende 

 punkte ß und v. 



12. Bilden drei Punkte a h c ein InflexionstripeJ, so haben 

 ihre Tangentialpuukte ď h' & diest lbe Eigenschaft, 



Beweis. Wegen (5) liegen a' h c^ h' c «, & a h in je einer 

 Geraden. Bezeichnet man nun mit «" h" c" die Tangentialpuukte 

 von ď h' c\ so sind a" h' & die Targentialpunkte von a' b c und liegen 

 daher nach einem bekannten Satze ebenso wie diese in einer Ge- 

 raden. Aus demselben Grunde befinden sich auch h" c' a\ c" a' h' 

 in je einer Geraden, und folglich (11) bilden «' h' & ein Inflexions- 

 tripel. (Prof. Küpper.) 



13. Zieht mau aus jedem Punkte eines Tripels ah c die vier 

 Tengenten an die Curve, resp. mit den Berührungspunkten a, a^a^ a^, 

 ^1 ^2 ^3 ^4> ^i ^2 ^3 ^i-' ^0 bilden diese zwölf Punkte vier Inflexions- 

 tripel, indem je:Ier der Berührungspunkte a mit einem (und nur 

 einem) der Borührungspuukte ř», und einem (und nur einem) der Punkte 

 c ein Tripel bildet. 



Beweis. Seien wieder a' 1/ c' die Tangen tialpunkte von ahc^ 

 dann liegen h^ c a in gerader Linie (5). Zieht man die Tangente 

 b' b und eine der Tangenten aus c, z. B. c ci,, so geht nach einem 

 bekannten Satze die Gerade b ct durch den Berührungspunkt einer 

 der TangcLiten aus a; sei derselbe «i», also b c\^a^ bilden eine Ge- 

 rade. Ebenso liegen & ab auf einer Geraden, und daher triift die 

 Verbindungslinie der Berührungspunkte c und «h den Berührungs- 

 punkt einer aus b gezogenen Tangente, der u.it b\, bezeichnet werden 

 möge, so dass c a\ 6), ebenfalls eine Gerade bilden. Dann haben also 

 die drei Punkte «h 5u Ch. die Eigenschaft, dass die Tangentialpuukte 

 b und c von b\, und a i"esp. auf Ch «h und «u bw liegen. Demnach 

 (7) liegt auch der Tangentialpunkt a von a^ mit 5u Ch in einer Ge- 

 raden, und (11) «h &h Ch bilden ein Tripel. — Dieses aber ist das 

 einzige aus den Berührungspunkten gebildete Tripel, das den Punkt 

 aii enthält. Denn ist «i, b^ tv ein solches Tripel, so muss a^ b^ durch 

 c, und «h Cy durch b gehen, aber die Punkte, in welchen «h c und 

 «h b die Curve treften, sind nach den obigen bt und Ch, daher fällt 

 \ mit &h, und Cy mit Ch zusammen. 



14. Wenn ein Kegelschnitt die Curve in einem Punkte a 

 eines Tripels a b c osculirt, und ausserdem in q r s schneidet, so 

 liegen q r s mit a b c in einem neuen Kegelschnitte. Denn den vier 

 Punkten qr sa liegt der Tangentialpunkt a' von a gegenüber (8), 

 b c aber geht durch a' hindurch (5), also liegen b c in einem durch 

 qrsa gehenden Kegelschnitte. (Prof. Küpper.) 



