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(1) zwei gleiche Wurzeln für x liefert. Eioe Punktgruppe, in welcher 

 ein Doppelpunkt vorkommt, nennen wir eine Doppelpunktsgruppe. 



Soll (1) eine zweifache Wurzel besitzen, so müssen die 

 Gleichungen : 



fix) — X(p{x)—0 

 p {x) — K(p^ {x) = 



gleichzeitig bestehen, aus denen sich durch Elimination von x eine 

 Gleichung : 



ergiebt, welche in A vom 2(n — l)ten Grade ist und die 2(w — 1) 

 Doppelpunktsgruppen liefert.*) 



3. Wir wollen die 2(w — 1) Doppelelemente der Involution in 

 etwas anderer Weise bestimmen, indem wir eine Gleichung 2(w — l)ten 

 Grades bilden werden, deren Wurzeln unmittelbar die Abscissen der 

 Doppelpunkte sind. 



Wir wollen zwei Punkte m, p von G als entsprechende Punkte 

 bezeichnen, wenn sie einer und derselben Punktgruppe der Involution 

 angehören. Wenn x die Abscisse von m und y die Abscisse des 

 ersterem Punkte entsprechenden Punktes !> ist, so müssen für ein 

 und denselben Wert von A die beiden Gleichungen bestehen: 



f{x)-k<p{x)z:zO] 



Durch Elimination von A zwischen diesen beiden Gleichungen 

 ergiebt sich eine Beziehung zwischen den Abscissen x^ y zweier ent- 

 sprechenden Punkte; nähmlich: 



f{x)^{y)~f{y)cp{x) = (5) 



Die linke Seite der letzten Gleichung ändert bei Vertauschung 

 der Variablen x und y bloss das Zeichen und wird durch die An- 

 nahme X ■=. y erfüllt. Hieraus folgt, dass 



f («) fp(y) — f iy) ^ (^) = {x~y)F {x, y) 

 sein müsse, v^ohúFiXy y) eine symmetrische Funktion von x^ y und 

 zwar vom {n — l)ten Grade ist. 



Unterdrückt man den Faktor {x — y), so ergibt sich als Be- 

 ziehungsgleichung zwischen zwei entsprechenden Punkten: 



F{x,y)-0 (6) 



Es fällt nicht schwer, die Form der letzten Gleichung im All- 

 gemeinen so wie in jedem speziellen Falle zu ermitteln. 



*) Siehe Cremona's ebene Curven pag. 28 der deutschen Uebersetzung. 



