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Für eine cubische Involution erhält man 



^3 ^3 

 ^1 ^3 



x'^iß + 



«3 a, 



^3 



&, &! 



«3 a 



^3 



I/o Vf. 



á;ž/ + 



^2 ö^o 



(«^ + y)4- 





(8) 



5. Um die Doppelpunkte der Involution zu erhalten, ist offen- 

 bar nur nöthig, in Gleichung (6) ^ =: ž/ zu setzen. Man erhält so 

 eine Gleichung F {x, x) — 0, welche in x vom 2(w — I)ten Grade ist 

 und deren Wurzeln unmittelbar die Abscissen der Doppelpunkte 

 liefern. So ist z. B. die aus (8) entstehende Gleichung wenn x :=: p 

 gesetzt wird jene, welche die vier Doppelpunkte der cubischen 

 Involution : 



(«3 x^ -|- ^2 -^^ + (^i ■^ -\- ^o) — ^ (^3 -^^ -{- b^ x^ -\-bi X -^ bo) = 

 liefert. 



6. Von besonderem Interesse sind jene Involutionen, welche 

 zwei «fache Elemente enthalten. 



Wenn wir z. B. voraussetzen, dass im Punkte A, welchem die 

 Abscisse a zukommt, n Punkte einer Gruppe zusammen fallen, so ist 

 die Gleichung dieser Gruppe: 



(^ — a)" = (9 ; 

 ebenso ist die Gleichung einer im Punkte ^c =z ö vereinigten Gruppe : 



(x — by = 

 und daher die Gleichung einer Involution welcher die ^fachen Ele- 

 mente a, b angehören: 



(x — aY~X(x — by = (9) 



Hieraus folgt 



a + byx 



1 



VA 



wobei Y X n verschiedene Werte annimmt, so dass wirklich jedem 

 A — Werte n Werte von x d. h. eine Punktgruppe der Involution 



n 



zugehört. Wenn A positiv ist und der absolute Wert von Y A mit 

 A' bezeichnet wird unter der Voraussetzung, dass n ungerade, so 



n 



lassen sich die übrigen {n — 1) Werte von V^ A in der Form a k\ 

 a' A', a^ k' a"-i K' schreiben, wobei 



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a — cos -'ZT' ~\~ i 5ÍW-T 7— ist. 



Sltzongaberfchte V. 



