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Betrachten wir nun vier beliebige Gruppen I. II. III. IV. der 

 Involution, welche der Reihe nach den Werten A,, A«, A^, X^ ent- 

 sprechen. Für die Abscissen der Punkte dieser Gruppen erhalten 

 wir nun folgendes Schema: 



a -{- b X' . , a -jr a b l\ , a -^ a- b k\ 





3 ^ M. /v 3 



a + & A'. ^ a + o;&A' ^ a + a- 5 A' 



IV.:./ =-T^_:,-^*-- -.^ = -T^T^'r - . . 



Bilden wir nun die Doppelverhältnisse aus je vier unter ein- 

 ander stehenden Punkten so ergibt sich : 



iCi«— ic»,^ ■ iP,* — ie,4~ ~ A^' — A3' ■ A3' — A^- 



iCji — x^^ x^^ — x^* _^^^{' — ^^i . «A^' — aX^' 



x^^ — x»^ ' x^^ — X»* aA„'— aA3' ' al^' — «A3' 



Ao A3 Ao ~~ A^ 



Man erhält, (mit [a;,' a^j- .-r,'' a;/] das Doppelverbältniss der 

 Punkte x^^ x^- x^^ x^"^ bezeichnet) folgendes Gleichungssj'stem 



/y>l/v»!2/>> 3'y«4i //>» l/vÄ'Y»3/y»4\ ^— ( /y I ^■' 2/V1 S/v» 4| ^— 



Da man zu demselben Resultate gelangt, wenn man A negativ 

 und n gerade oder ungerade annimmt, so können wir folgenden be- 

 merkenswerten Satz aussprechen : „Besitzt ei neinvolutionwten 

 Grades zwei «fache Elemente, so gruppiren sich die Ele- 

 mente der sämmtlichen Gruppen zu proj ektivischen 

 Gebilden." 



Eine interessante Anwendung des Satzes erhält man für Curven 

 wter Ordnung mit einem {n — l)fachen Punkte und zwei {n — 1)- 

 punktig oskulierenden Geraden. 



Legt man nämlich durch den Schnittpunkt dieser geraden 

 Strahlen, so bestimmen diese auf der Curve wpunktige Gruppen, 

 welche mit dem (n — l)fachen Punkte verbunden Strahlengruppen 

 einer Involution »iten Grades liefern, für welche die beiden nach den 

 zwei Oskulationspunkteu gehenden Strahlen zwei wfache Strahlen 

 sind. Man wird daher den obigen Satz auf derartige Curven sofort 

 anwenden können. 



