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sein müsse, wenn auch die Ordinatenaxe eine Tangente der Curve 

 im Doppelpuniite sein soll. 



Die Gleichung einer Curve dritter Ordnung mit einem Doppel- 

 punkte kann demnach, wenn man die Doppelpunktstangenten zu 

 Coordinatenaxen wählt, in die Form: 



ax^ -j- bx'^p + cxy- + dy^ -f- fx^ — 

 gebracht werden. 



Setzt man /" == — w«, so geht die letzte Gleichung über in: 

 ax"^ -f~ hx^-y + cxir + dy^ =z mxy .... (2) 



was also die Gleichung einer Curve dritter Ordnung mit einem Doppel- 

 punkte ist, wenn mau die Doppelpunktstangenten zu Coordinatenaxen, 

 also den Doppelpunkt selbst zum Coordinatenanfangspunkt nimmt. 



2. Eine durch den Doppelpunkt gehende Gerade T wird die 

 Curve dritter Ordnung, ausser im Doppelpunkte noch in einem an- 

 deren Punkte p schneiden, dessen Coordiuaten man leicht wie folgt 

 bestimmen kann. 



Die Gleichung einer durch den Doppelpunkt gehenden Geraden Tist : 

 y = tx.... (3) 



da der Doppelpunkt zugleich der Coordinatenanfangspunkt ist. Führt 

 man den Werth von y aus Gleichung (3) in die Gleichung (2) ein, so 

 ergiebt sich: 



x"" {a-\-U-\- cP 4- dt^) — mxH 

 und wenn man den vom Doppelpunkte herrührenden Faktor x^ unter- 

 drückt, so bleibt 



X (a -\-ht -\- et- -+- dt^) = mt 

 woraus sich für die Abscisse des Punktes p der Wert 



mt 

 a-{-U + 0^ + dt' 

 ergibt. Gleichung (3) liefert endlich für die Ordinate von p den Ausdruck : 



fi%t'^ 



y - a -[- ht ^ ct-"-fdtr '-■■ ^^^ 



Die Gleichungen (4) und (5) lehren, dass jedem Werte von t 

 ein bestimmter Punkt p der Curve driter Ordnung entspricht, während 

 Gleichung (3) zeigt, dass umgekehrt auch jedem Punkte der Curve 

 ein bestimmter Wert von t entspricht. 



Wir wollen der Kürze halber die Grösse t als den Parameter 

 des entsprechenden Curvenpunktes p bezeichnen. 



3. Nachdem wir den Begriff des Parameters eines Punktes 

 unserer Curve festgestellt haben, wollen wir zum Beweise des nach- 

 stehenden fruchtbaren Satzes schreiteo. 





