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Anwendung zu, dass sich durch ihn der Geometer wie mit einem 

 Schlage im Besitze eines alle, die Curven dritter Ordnung mit einem 

 Doppelpunkte betreft'enden Fragen beherrschenden Hilfsmittels be- 

 findet. 



Es mag uns erlaubt sein nur einige der zunächstliegenden An- 

 wendungen des besagten Satzes zu machen. 



Da man aus der Gleichung (7), wenn (3?*— 1) von den Para- 

 metern bekannt sind, den erübrigenden nUm unzweideutig finden kann, 

 so liefert diess sofort folgenden auch für Curven dritter Ordnung im 

 allgemeinen bekannten Satz: 



„Alle Curven w-ter Ordnung, welche durch (3h — 1) auf 

 einer Curve dritter Ordnung vierter Classe liegende 

 Punkte hindurchgehen, gehen noch durch einen weiteren 

 festen Punkt dieser Curve hindurch."*) 



5. Wenn eine willkürliche Gerade G unsere Curve dritter 

 Ordnung in drei Punkte t^ , io , t^ schneidet, deren drei Parameter 

 durch dieselben drei Buchstaben bezeichnet sein mögen, so ist: 



t^Ut^=zh (8) 



Ist die Gerade G eine Tangente welche im Punkte t^ berührt, 

 während sie die Curve überdiess im Punkte tr, schneidet, so ist t^ 

 der Tangentialpunkt von t^ und es muss nach (8), wenn man statt t^ 

 und to, ti setzt und statt t^ dann t„ : 



t^-k -i (9) 



welche Gleichung die Beziehung zwischen einem Punkte und dessen 

 Tangenlialpunkte darstellt. 



Aus (9) folgt: 



woraus folgt, dass man aus einein Punkte U der Curve an sie zwei 

 Tangenten legen könne, deren Berührungspunkte -f- V/ — und — 1/ — 



sind und welche harmonisch liegen bezüglich der beiden Doppel- 

 punktstangenten. 



Wenn Cr eine Intiexiunstaugente ist und wenn j der Inflexions- 

 punkt ist, so muss nach (8): 



ř = k 

 sein. Man erhält also drei Inflexionspunkte nähmlich 



3 3 3 



j, r= V Ä j„ = a Y Je j^ z= a" Y k 



*) Vergleiche Cremoua's ebene Curven pag, 65 der deutschen Ausgabe. 



