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III. 



Für die bisher betrachteten Fälle ist es bekanntlich möglich 

 die particulären Integrale der betreifenden reducirten Gleichungen 

 zu bestimmen und so durch Variation der Constanten auch das In- 

 tegral der completen Gleichung zu entwickeln. 



Schliesslich sei noch ein Fall angeführt, wo man unmittelbar 

 die Ergänzung auf eine ähnliche Weise wie früher finden, die parti- 

 culären Integrale aber allgemein nicht herstellen kann. 



Haben nämlich die Coefficienten der Gleichung (1) 



allgemein die Form 



Xk =1 ök + hoc + ^^^"^ + . . . + m^x^ (32) 



und ist zugleich 



X=: a-\- ßx -}-yx'-{- . . . + fix"^ , (33) 



so hat auch das Ergänzungsglied (p (x) dieselbe Form wie X , 

 ist somit 



(p (x) = Ä -h Bx -h Cx"^ -^ ... + Mx"^ , (34) 



wobei die noch unbestimmten Coefficienten 



Ä, B , C , ..., M 

 dadurch bestimmt werden, dass man diesen Ausdruck statt y in die 

 Gleichung (1) einführt, nach Potenzen von x ordnet und die Methode 

 der unbestimmten Coefficienten anwendet. 

 Für den Fall, dass allgemein 



Xk =: flk + 5k^ (34) 



ist, wobei Laplace's Methode die partikulären Integrale der redu- 

 cirten Gleichung finden lehrt, findet dieser Vorgang offenbar nur 

 dann Anwendung, wenn \ zz: o ist, der Coefficient von y also con- 

 stant wird. 



Wie schnell und bequem in praktischen Fällen unsere Formeln 

 zum Ziele führen, erfährt man am besten, wenn man eine und die- 

 selbe Gleichung nach beiden Methoden integrirt. 



Hätte man z. B. die Gleichung 



x"' — Qy" -^ 12«/' — 8i/ = 1 + 2e2» 

 zu integriren, so liefert die Anwendung der Formel (8) die Ergän- 

 zung wegen 1 



Sllzungsberichte IV, g 



