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in 



der 



Form 





- 



U„+i 





Un 



np + A, ni- 1 -f A 2 nP~ 2 -f- . . . . + A p 

 nP + a, nP- 1 -f- a 2 n*— 2 -+-.... + a p 

 erscheint, worin p ganzzahlig und von positiver Beziehung ist, ferner 

 Nenner und Zähler des Bruches (2. keine identischen Polynome sind, 

 so convergirt die Reihe (1. nur dann, wenn die Differenz 



a, — A, > + 1 ist; 

 in allen andern Fidlen ist die Reihe (1. divergent." 



Beweis. Soll die Reihe c o n v e r g i r e n . so ist vor Allem 

 nöthig, dass von einer bestimmten Stelle des n angefangen, stattfindet 



Un-fi <, u n . Aus diesem folgt: n+1 <C 1 



u n 

 Demgemäss kann man setzen : 



Un+l _ __}__ ,,, 



U„ 1 + a 



wobei u eine) dieser (ileichung eben genügenden Zahlenwerth reprä- 

 sentirt 



.Man erhält aus (3. in Verbindung mit (2. leicht die Gleichung: 

 (a, — A.) + (a, - A,) i + ,..'. 



A, -f 



■ + A - + x 



Für unendlich gross werdende n folgt aus derselben: 



(4- 



lim. a = a ' ■- — A| - = (5. 



n, + A, 



und ebenso aus (3. Um. a = lim. " - — 1 (6. 



u 11+1 



Gilt nun (.">., so hat (6. nur dann eine richtige Bedeutung, wenn 

 von einer bestimmten Stelle des n angefangen, die Beziehungszeichen 

 der Buccessn aufeinander folgenden Reihenglieder, als u n , u n+i , 

 u n+2 .... identisch, also entweder positiv oder negativ sind. 



Aus der Gleichung (4. folgt: 



(a, - A.) + (a, - A,) 5 + (a, - A,) n « + • • • (7. 



n« = 



1 + Al -h A 't 

 n n 3 



und hieraus für hinreichend grosse n, 



