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Ist die Gränze, welcher sich dieser Ausdruck beim Wachsen von 

 n nähert, positiv und grösser als 1, so convergirt die Reihe. 



Die folgende Ableitung dieses Satzes scheint mir wegen ihrer 

 grossen Einfachheit bemerkenswerth. Die Reihe u, u a u 3 .... ist 

 convergent, wenn beim unendlichen Wachsen des n das Product n r u n 

 (r positiv und grösser als 1) endlich bleibt. Letzteres findet aber 

 sicher statt, wenn das genannte Product, von einem bestimmten 

 Werthe von n an, fort und fort abnimmt, d.h. wenn für belie- 

 bige, sehr grosse Werthe von n die Ungleichung 



(n -j- l) r u n+ i < n r u n 

 besteht. Aus ihr folgt 



u n+ i 1 



U n 



(*+ö 



oder *±L - (i + ÍV < 



u n V n/ 



Un+i _ x i ü _ r (r + 1) 

 u n n 2 n ? 



r(r-j-l) 



oder -^-- 1 + ir ~ » , - +••••< 



oder endlich n (^±L _ i) _|_ r _ r t r + U + . . . . < o. 

 ^ u n * ' 2 n 



Es wird also die Reihe convergent sein, wenn beim unendlichen 



Wachsen von n 



n (^±L _ i) + r < o , 



V Un J 



also n Í 1 — J positiv und grösser als 1 ist. 



Un 



Gauss hat in der oben erwähnten Abhandlung nur jene Classe 

 von Reihen untersucht, bei welchen der Quotient n+1 die folgende 



Un 



Form besitzt: 



u n +i _ 



i h -f a, n 11 - 1 + a 8 n h " 2 + + a h 



u n n h + A, n*- 1 -f a 8 n h ~ 2 + + A h 



zugleich hat er einige höchst merkwürdige Sätze bezüglich des Wach- 

 sens und Abnehmens der spätesten Glieder solcher Reihen gefunden, 

 deren Nachweis jedoch durch die dabei zu Hilfe gezogenen Vergleichs- 



