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multiplicirt, nach einer ganz leichten Reduction, das Product 

 f (a) .f(ß)-= cos (a + ß) + i s in (a + ß) = f (a + ß) . 



Die Auflösung dieser Functionalgleichung liefert aber (nach 

 Cauchy, Cours ď analyse, 1821) unter der hier erfüllten Voraus- 

 setzung, dass die Function /' eindeutig sei, 



/' (a) — h a 

 wofern h eine von a unabhängige absolute Zahl vorstellt, die sonach 

 entsprechend der Forderung, dass 



h a 3= cos a-\- i sin a 

 sei, zu bestimmen ist. 



Hiezu setzen wir zur Vereinfachung der Schreibung a~2f 

 und erhalten 



/i 2f — cóš 2f -f- ř 6m 2f z=z 1 — 2sin s" -f- i 2sin e cos £ 

 — 1 -f- i 5m 2s (cos s -f- i sin s) =: 1 -f- i 2s . h e . 



Darin stellen wir abkürzend 



sins ,t . n 



k zz «/. , i 'lern — 7] 



und damit h isolirt werde, radiären wir nach 2s = ^— , sodass wir 



im 



finden 



tm 



h=z[(\^v) "\ 



Nun lassen wir < unendlich abnehmen oder der Gränze Null zu- 

 streben. SP ist 



lim m =■ 1 . lim >; zzz , 



! 



Um ( 1 -f- rj) '' = t — Grundzahl der naturlichen Logarithmen, 

 mithin die fragliche Zahl 



hzzze' 

 und soliin ergibt sich 



ros a -\- t sin azzze la 

 als die gewünschte rmwandlnngslbrmel. von welcher ans man mit 

 Leichtigkeit auf eine Reihe anderer wichtiger analytischer Untersu- 

 chungen übergehen kann. 



