94 



svazku a, proběhnou tyto body m í m 2 jistou křivku, kterou nazveme 

 samodobnou, poněvadž každému bodu jejímu m l odpovídá jediný s ním 

 příbuzný bod wi 2 , který se také na ní nalézá, tak že se sama v sobě 

 zpodobuje. 



Geometrický process, kterým se tato křivka vytvořila, dá se 

 takto formulovati: Křivka samodobná příslušná k bodu a jest geo- 

 metrickým místem bodů »i 1} wi 2 , v nichž se protínají kruhosměrné 

 přímky i^m, i 2 m\ resp. i^m', i 2 m, vedené z bodů m m', v nichž pro- 

 tíná proměnný paprsek M svazku a kuželosečku C 2 . Z toho ihned 

 patrno, že křivka samodobná je 4. stupně s body dvojnými v bodech 

 kruhosměrných i x i 2i jejíž dvě cyklická ohniska jsou kruhosměrnými 

 průměty průseků paprsků vedených z bodu a k úběžným bodům 

 kuželosečky C 2 s touto křivkou, čtyry z pomyslných průseků obou 

 křivek C 2 a samodobné leží na kruhu nekonečně malého poloměru 

 se středem v a, a dva z ostatních čtyř jsou reálné průseky poláry 

 bodu a s kuželosečkou, a křivky se v nich protínají kolmo. 



Nalezá-li se a na assymptotě kuželosečky C 2 ,*) přejde samo- 

 dobná v cyklickou křivku stupně třetího, a je-li konečně a středem 

 hyperboly, na křivku kvadratickou, která je nutně hyperbolou sou- 

 osou s původní; má-li tato rovnici 



b^x 1 — a 2 ?/ 2 = a 2 Ď 2 

 má samodobná rovnici 



a iyi _ hW = a 2 b*. 



Je-li C 2 parabolou, je samodobná cyklickou čarou kubickou. 



Skutečné sestrojení bodů m x m 2 provede se na základě známé 

 věty, že jsou pomyslné průseky m m' přímky Is kuželosečkou dvojné 

 . body involuce harmonicky sdružených pólů na přímce M vzhledem 

 ke kuželosečce. Střed této involuce je patrně průsek p se směrem 

 přímky M sdruženého průměru kuželosečky s touto přímkou M, 

 a její jednu družinu tvoří bod a a průsek a M jeho poláry s přímkou M. 

 Dle základních vlastností involuce bude pak fim — Yfia . [ia M — 

 == i . Vafi . iia M , [im' — —i Vap . ^a M% a následovně se body m l w 2 

 nalézají na kolmici vztýčené v bodě (i na přímku M na opačných 

 stranách u vzdálenosti Vap . \jlo, m od této, a obdržíme je jakožto 

 průseky řečené kolmice s kružnicí Opsanou nad průměrem aa M . 



Poněvadž bod p rozpoluje vzdálenost m m\ probíhá kuželosečku 

 ((i) podobnou a podobně položenou s C x , která obsahuje bod a, střed 



*) Tato pak musí býti hyperbolou. 



