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Wir bestimmen vor Allem die Anzahl der Glieder dieser De- 

 terminante, vorläufig voraussetzend, dass die Elemente derselben alle 

 untereinander verschieden sind. Um dies anzudeuten, wollen wir die 

 einzelnen Elemente derart mit Indices versehen, dass jedes b k , das 

 im der l. Zeile steht mit b u bezeichnet wird. Wenn wir nun die 

 Determinante nach der ersten Zeile zerlegen, so erhalten wir b lx 

 und b ox multiplicirt mit je einer Subdeterminante (n — 1). Grades, 

 deren jede in Bezug auf die Nullen ähnlich gebaut ist, wie die ge- 

 gebene Determinante. Verfahren wir mit den zwei Subdeterminanten 

 ebenso wie mit der ursprünglichen Determinante, so erhalten wir 

 offenbar 2.2 = 2 2 Subdeterminanten (n — 2). Grades, deren jede mit 

 einer Elementencombination zweiter Dimension b xl b X2 , b n b 02 , b 0X b 22 , 

 b QX b Q2 multiplicirt erscheint. Fährt man in dieser Weise mit der Zer- 

 legung fort, so erhält man nach der (n — 2). Zerlegung, 2 n-2 Sub- 

 determinanten zweiten Grades, unter denen eine gewisse Anzahl 

 gleicher sein wird, und deren jede multiplicirt ist mit einer gewissen 

 Elementencombination (n — 2). Dimension. Da nun, wie die Betrachtung 

 der letzten zwei Zeilen der Determinante D n ergibt, in diesen Sub- 

 determinanten zweiten Grades keine Nullen auftreten, so ist klar, 

 dass wir bei einer weiteren Zerlegung 2" _1 Elementencombinationen 

 n. Dimension erhalten. Lassen wir jetzt die Beschränkung, dass die 

 säramtlichen Elemente der Determinante D n verschieden sein sollen, 

 fallen, so wird sich, wie man leicht einsehen kann, in der ent- 

 wickelten Determinante D n immer eine gewisse Anzahl gleicher 

 Elementencombinationen vorfinden, und es bleibt nur zu zeigen, dass 

 dieselben stets mit demselben Vorzeichen behaftet vorkommen, sich 

 also vervielfachen, um den Satz aussprechen zu können: 



I. „Die ausgewerthete Determinante D n besitzt 

 2"- 1 Glieder." 



Dabei darf aber nicht vergessen werden, dass wir zwei gleiche 

 Elementencombinationen als zwei Glieder auffassen. Es bedeuten 

 daher die Zahlencoefficienten, die bei einer bestimmten Elementen- 

 combination der ausgewertheten Determinante D n stehen, die Anzahl 

 der gleichen Glieder in D n . 



Um nun den vorstehenden Satz zu beweisen, wollen wir vor 

 Allem auch für die Determinante D n eine Kecursionsformel ableiten. 

 Durch Zerlegung von D n nach der ersten Zeile erhalten wir nämlich 



(HO D n = b t D^--b fa h » °"'- ), 



V0 M , n _2, .... 0]/ 



wobei wieder die Determinanten 



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