149 



M—l 



a i\ a xi 



din 



Uril @n2 • • Q>nr>. 



libovolná matrice who stupně, tu platí rovnost 



Z> = 



a, 



21» "22 



M. 



«2n 



= 0, 



a nl ) ®n2 i • • Mim * ■"* 



kde v levo napsaný výraz značí determinant; toť základní Cayley-em 

 uvedená věta. Důkaz její provádí autor jen v případu n — 2 

 přímou verifikací ; toutéž cestou i případ n =z 3 sám proskoumal 

 a praví „but I háve not thought it necessary to undertake the labour 

 of a formal proof of the theorem in the generál čase of a matrix 

 of any degree." 



Chtíti verifikovati theorem v případu obecném přímým vy- 

 číslením napsaného determinantu by bylo prací nad míru obtížnou 

 a ani mi na mysl nepřišlo, bych ji podniknul. Měl jsem však za to, 

 že by přece bylo záhodno podati důkaz vytknuté základní věty 

 v případu obecném. Snadno lze nahlédnouti, že v podstatě jde 

 o důkaz následující věty. 



Položme 



9»(ř*) = 



&11 í*j ^125 • • ^1» 



a 



21? "22 



ř*, 



«2« 



^«1 ) Q*n2 j • • a nn f* 



a označme literami [i lf ft 2 , • • ř*« kořeny rovnice 



9>(f0=0. 

 Utvořme součin 4 12 == y(ft 2 ) <Kř*i) determinantů <p(í* 2 ) a <Kf*i) 

 tvoříce elementy Jc-ho řádku kombinováním k-ho řádku ve <jp(ft 2 ) se 

 sloupci ve cpi^í). Touže cestou utvořme součin 



dále součin 



'123 = 9'(ř*3) z/ 12 > 

 ^1234 = ^(^4)^123 » 



atd., až konečně 



Tu platí výrok, že veškeré elementy determinantu 4 12 , . M jsou 

 nullami. Toť patrně aequivalent Cayley-ovy věty, nebot pokládáme-li 

 determinant q>(ii k ) za matrix, tu on značí patrně rozdíl M — jt*, tak 



