176 



24. 

 Příspěvek k nauce o množinách bodů v rovině. 



Přednesl Matyáš Lerch dne 23. května 1884. 



Budiž M libovolná množina bodů v rovině. Nalezá-li se v rovině 

 této bod o! mající tu vlastnost, že se v každém jeho okolí nalézají 

 body z M, nazývá se, jak známo, a' hodem hromadným množiny M , 

 necht pak již sám je prvkem této neb není. 



Známá věta Weier&trassova praví, že množiny vykazující v ko- 

 nečném oboru nějakém neomezený počet prvků mají nutně aspoň 

 jedno místo hromadné. 



Soubor míst hromadných množiny M zove se její derivací či 

 množinou odvozenou M. Má-li tato opět místa hromadná, tvoří jich 

 soubor množinu M", která je druhou derivací M" množiny M atd- 



Tak obdržíme řadu množin 

 (1) M M" M" . . . M( v -V M& . . . 



v níž je každá obsažena ve všech předcházejících, takže veškery prvky 

 množiny M^ jsou zároveň prvky množiny M^ v ~ *) atd. 



Dokažme to pro v — 2. Buď a" libovolný bod množiny M" ; 

 je-li pak ö libovolně malá daná veličina kladná, opišme kol a" kruh 

 poloměru ď, jejž znamenejme (a"). Jelikož bod a" je hromadné místo 

 množiny M, musí se vždy uvnitř kruhu {a") nalézati body množiny 

 M'\ bud m' jeden z nich. Opíšeme-li kol nť kruh (m') poloměru 

 č — a"m', který je tedy všecek uvnitř kruhu (a") obsažen, shledáme 

 podobně, že se v tomto kruhu také nalézají body množiny Af, poně- 

 vadž m! je bodem hromadným této; libovolný z těchto bodů m na- 

 lézaje se uvnitř (m f ) nalézá se též uvnitř (a"), a tedy obsahuje každé 

 okolí bodu a" body m množiny M, takže a" je místem hromadným 

 pro M a jako takové náleží prvé derivaci. 



Řada derivac (1) je buď honečná neb neomezená. Zakončí-li se, 

 tedy je posledním prvkem jistá množina M( n \ která nemá více bodů 

 hromadných. V každém konečném oboru nalézá se dle výše uvedené 

 věty Weierstrassovy nanejvýš konečný počet bodů z M( n K V tom pří- 

 padě sluje množina prvého rodu (genre). 



Sestává4i M») z konečného počtu bodů, zove se množina pů- 

 vodní M racionalnon druhu n. Je-li naopak počet bodů v M (n > neome- 

 zený, je množina M irracionalnou. V tom případě můžeme jí přiřknouti 

 symbolický bod hromadný co, takže existuje derivace M< n + 1) šestá- 



