177 



vající z jediného bodu v nekonečnu. Stanovíme-li polohu bodů v rovině 

 komplexními hodnotami, můžeme množinu irracionalnou přetvořiti 

 v racionalnou následujícím způsobem. Buď a hodnota, jež není prvkem 



ani v Máni v ií'; přiřadíme-li každému bodu z bod z x := , 



z — OL 



přetvoříme tím množinu M v množinu M x , která je všecka obsažena 

 v jistém konečném oboru omezeném kružnicí se středem v o. Nebof 

 poněvadž a není ani prvkem množiny M ani bodem hromadným, 

 existuje zajisté jistý kruh určitého poloměru se středem v a, uvnitř 

 kterého není bodů množiny M , a tento kruh přejde transformací naší 

 v kruh S, jehož vnitřek odpovídá vnějšku kruhu kol a. Body hro- 

 madné irracionalné množiny M , M! , M" . . . transformují se patrně 



opět v hromadné body množin M l , M\ , M'\ a mimo to přibude 



v bodě z x = o příslušném ku z =z co nový skutečný bod hromadný 

 množiny M[ n \ jenž odpovídá symbolickému bodu hromadnému co. 

 Množina M li jejíž derivace M^ +1) sestává z jediného bodu o, je 

 patrně racionalnou. Je tedy rozdíl mezi množinami racionalnými 

 a irracionalnými pouze formal ný. 



2. Je-li množina M derivací nějaké množiny iH( -1 >, obsahuje 

 všecky body prvé své derivace M. Z toho plyne, že mnohdy nelze 

 utvořiti množiny i!í( -1) , které by příslušela řečená vlastnost. 



Nazývejme upravenou či modifikovanou každou množinu $DZ(M,M') 

 = M , která obsahuje zároveň veškery své body hromadné. Takovou 

 lze utvořiti z každé množiny dané, připojí-li se jí pouze její body 

 hromadné. 



Nyní dokažme větu: 



Každé modifikované množině 1. rodu M v rovině náleží nekonečný 

 •počet množin M^~ J \ které ji mají za svou první derivací. Takové mno- 

 žiny MS— 1 ) zovou se prvými kontraderivacemi množiny M. 



V řadě článků uveřejněných v Comptes Rendus pařížské aka- 

 demie r. 1882 dokázal p. Mittag -Leffler, že lze pro každou danou 

 racionalnou množinu modifikovanou M v rovině utvořiti funkci jedno- 

 značnou F(x , M\ která má ve všech bodech množiny M a jen v těchto 

 místa podstatně zvláštní (wesentlich singulare Stellen). 



O každé racionální množině platí pak známá věta, že je sera- 

 ditelnou (má mohutnost přirozené řady čísel), takže lze prvky její u v 

 napsati v řadě 



(2) u L u 2 u 3 . . . u v . . . 



která se skládá toliko z prvků množiny M, jejížto každý prvek též 

 naopak v řadě a to pouze jednou přichází. 



Tř. : Mathematicko-přírodovědecká. 12 



