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Um nun aber den Nachweis zu führen, dass dieser Satz nicht 

 bloss für orthogonale sondern auch allgemein für alle Systeme und 

 mithin auch für die klinogalen Geltung hat, reducirt man die Kanten 

 des Grundhexaides des einen Systemes auf die Kanten des anderen. 

 Die klinogonalen Kanten a b c bilden mit der Kante ď des ortho- 

 gonalen Systemes Winkel, deren Cosinuse abgekürzt mit d r\ £ be- 

 zeichnet werden mögen; dessgleichen mit der Kante V die Cosinuse 

 d x r) 1 t, x \ mit der Kante c' die Cosinuse ä 2 rj 2 £ 2 . Demnach ist 



ď — aö -\-br] -j- cg 

 b' = ad x -j- br) x 4- c?! 

 c' = ad 2 + Mi + c ^2- 

 Die Gleichung einer Fläche m' x n' x r\ des orthogonalen Sy- 

 stemes : 



a f m\ -f b'n' x + cV, — 1 = 



geht also über in die Gleichung i) 



«W + n 'A + »W + h ( m 'J> + »'Á + *Vfc) + c « + »y, + n'JM -i = o 

 während aw^. -|- bn x -f- cw^ — 1 = 0, 



für die Indices m x n x r x und die Kanten abc des klinogonalen Sy- 

 stemes Geltung hat. 



Substituirt man in den Ausdruck mn l — n x m die Werthe aus 1) 

 so findet man 



mn x — nm x = (öt] x — ^ď x ) (m'n\ — n ř m ř í ) -4- (ó x tj 2 — ^i^) ( w ' r 'i — r ř n\) -j- 



und analog 



w 2 w 3 — ra 2 m 3 = (<fy, — 17^) («i' 2 w' 3 — w' 2 m' 3 ) + u. s. w., 

 demnach mit abgekürzter Bezeichnung 2) 



mn x — nm x P {m'n\ — n'm\) -f- P' (n'r\ — r'n\) -\- P" (r ř m ř — mV) 



m i n 3 — w 2 m 3 P(m' 2 ?i' 3 - n\m' z )-\-P {n\ 2 r ř 3 — r ř 2 n' 3 )-\-P'(r' 2 m ř 3 — wť 2 r' 3 ) 



In dem Verhältniss — = — = — = q ist 

 x x y x z x 



x = sc x q íxP z=x 1 qP\máxP-\-yP-\-zP'=z[x L P+y l P-\-zP , )q 



y - y x q, also yP = y 1? P _ xP + yP + zP ' 



z=z x q zP" = z x qP f q ~" x x P + y x P + z^" 



iL — !_ — JL — xPJ ry p + zP " 



