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Man ersieht hieraus, dass wegen Beseitigung der Normalen w L v 2 v 3 

 zu diesen Gleichungen nicht drei Flächen einer Zone genügen, sondern 

 dass deren vier nothwendig sind. 



Für den praktischen Gebrauch empfiehlt es sich, die Kanten- 

 winkel in der Reihenfolge vi>j, w 8 , vv 3 zu den Berechnungen zu 

 wählen. 



Um die betreffenden Gleichungen für diesen Zweck einzurichten, 

 berücksichtiget man, dass 



vv 3 — vv 2 == v 2 v 3 

 vv 3 — vv x = v x v 3 ist. 



Man erhält dann durch Substituirung dieser Werthe und durch 

 Dividirung mittelst sinvv u sinvv^ sinvv 3 die Gleichungen 



sin iWj sin (vv 3 — vv 2 ) _ sin vv i . (sin vv 3 cos vv 2 — cos vv 3 sin vv 2 ) 

 sin vv 2 sin (vv 3 — vv x ) ~ ' sinvv 2 . (sin vv 3 cos vv, — cos vv 3 sinvv^ 



cot vv 2 — cot vv 3 M 



cot vv x — cot vv 3 N ' 



wobei -Mund N die oben angegebenen Werthe haben, und in welcher 

 Form diese Gleichungen sich zur unmittelbaren Anwendung be- 

 sonders eignen. 



9. Die Zwillingsgleichung. 



An Zwillingen halbirt die gemeinsame Zwillingsfläche den Zwillings- 

 winkel. Wenn man aus dieser Zwillingsfläche eine zu ihr senkrechte 

 Fläche in der Zone der beiden anderen Flächen, welche die Zwillings- 

 kante bilden, berechnet, so erhält man eine vierflächige Zone und 

 das Problem der Zwillingsgleichung lässt sich dann mittelst der 

 Kantengleichungen aus 7. und 8. lösen. 



Es bedeute also in Fig. 4. v die Normale der Fläche mnr, v x 

 die Normale der gemeinsamen Zvillingsfläche m^n^ • v 2 die Normale 

 der der Fläche mnr analogen Fläche m 2 \r 2 im zweiten Zwillings- 

 individuum, und endlich v 3 die Normale der auf der Zwillingsfläche 

 senkrechten Fläche m 3 n s r 3 ; so ist die Kantengleichung der auf ein- 

 ander senkrechten Flächen m 1 w 1 r 1 und m 3 n 3 r 31 da 75^ = 90° und 



F 

 cos K. s =-y= = ist, 



1 \fGGy 



F— m 3 (rrii sin 2 cc — r 1 B l — n t C x ) -\- n 3 (n x sin 2 ß — ff^i — ™i C l ) 

 -|- r 3 (r } sin 2 }/ — n t A x — rn l B l ) = (1) 



