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Die Zonengleichung für die Flächen rnnr, m x n x r u m z n 3 r 3 ist 

 nach 4. 



m n r 

 m x n x r x 



m, n, r- 



= 0, oder 



'3 "3 '3 



m z( nr i — rn i) ~h n 3( rm i — f/Wj) -j- r 3 (mn x — nm x ) zz. (2) 



Combinirt man die Gleichungen (1) und (2) nach dem in 3. 

 angegebenen Schema, so erhält man 



^3 



(rm x — mr x ) (r x sin 2 y — n x A y — w^^i) — ( mw i — w»i) 



^3 _ 



(^ sm^/S — í^ilj — wijC^) 



(mn x — nm x ) (m L sin 2 cc — r x Bi — n \ ^i) — ( nr i — rn \ ) 

 ^3 = 



(3) 



(wr x — r%) (Wj sm^ß — m x C x — ^iA) — ( rm i — mr i) 



r _* 



(w, sm'a — r 1 B l — ^Q) 



Da bei Zwillingen 



tw 2 = 2w 1} w 3 = 90° -}- Wj , 

 so geht die in 8. angegebene Gleichung über in 



cot vv 2 — cot vv 3 _ cot 2vv l — cot (90° -\-vv x ) M 



cot vv x — cot vv 3 ' " cot vv x — cot (90° -\-vv x ) ~~ N ' 



oder da cot 2vv x z= — — — - , so geht sie über in die Gleichung 



1 2tang vv x 



l-\-tang 2 vv x _ M __ 1 



2(1 + tcmg 2 vv x ) ~" N "~ 2 ' 



Bezeichnet man das einfache in 8. enthaltene Verhältniss ab- 

 gekürzt, nämlich 



m x rm l — mr x _ M x 



r t n 3 ~ r x m 3 — m x r 3 " N x 



sm vv x _ mn x — nm x nr x 



m,w, — m.n 



sin v, v 



l v 3 



w.r. 



und substituirt man diese abgekürzte Bezeichnung in die Gleichung 

 von -^ in 8., so findet man 



