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M x m 2 n s — *í 2 w 3 M x n 2 r 3 — r 2 n 3 M x r 2 m 3 — w 2 ?* 3 M 1 



N x mn 2 — wn 2 ' " N l nr 2 — rn 2 ' " N x rm 2 — <mr 2 N 2 



,, ™* — "* — r « (^ 



oder žM^ + 2V> ~~ 2^% -f N x n ~" 2M,r 3 -f JV> W 



Substituirt man weiter in die obige Gleichung (4) den früher 

 in (3) gefundenen Werth von m 3 n 3 r 3 , so erhält man 



M x _ 1 



N y " m x sin 2 a -\- n x sin 2 ß ~\~ r i sin 2 y — 2n x r x A x — 



1 (ß) 



— 2m x r x B L — 2m x n x C x 



M 

 "Werden endlich die Werthe von -— aus (6) und von m z n 3 r 3 



aus (3) in die Gleichung (5) eingesetzt, so erhält man schliesslich 



. . ™a 



(m\ sin 2 a — n\ sin 2 ß — r\ sin 2 y -j- 2A x n x r x )m -j- 2on x (n x sin 2 ß — A x r x — 



— C x m, x )n -\~ß m i( r i sin^y — A x n x — B x m x )r 

 n a 



(wj sin 2 ß — r\ sin 2 y — m\ sin 2 a -\- 2B x r x m 1 )n -\~ 2n x (r x sin 2 y — B x m x — 



n 2 

 ■ — A x n x )r ~\~ 2n x (m x sin 2 a — B x r x — C x n x )m 



! * - 



{r\ sin 2 y — ml sin 2 a — n[ sin 2 ß -\- 2C x m L n L )r -j- 2r 1 (m 1 sin 2 a — C x n x — 



r 



— B x r x )m -\- 2r x (n x sin 2 ß — C x m x — A x r x )n 

 als die allgemeine Zwillingsgleichung, wobei 



A x — cos cc — cos ß cos y 



B x — cos ß — cos a cos y 



C x =zcosy — cos a cos /?, 

 mnr die Fläche in ursprünglicher, m 3 n 2 r 2 die analoge Fläche in ver- 

 wendeter Stellung und m x n x r x die Zwillingsfläche bedeutet. 



10. Rechnungsbeispiele. 



a) Es sind die Kanten desPyritoideso^^ 210 zu berechnen, 

 Fig. 5. 



Das Pyritoid oder Pentagonal-Dodekaeder hat zweierlei Kanten, 

 nämlich A über den Kanten und P über den Flächen des einge- 

 schriebenen Hexaeders. 



