349 



druhu, že jedna ohniska každé té skupiny jsou na kružnici K a druhá 

 na kružnici K', kteréž kružnice dané křivky C v bodě a se dotýkají 

 a jichž druhé průsečníky k a k' s normálou N křivky C v bodě a 

 tvoří s bodem a a středem křivosti místa a křivky C harmonickou 

 čtveřinu. Body k k', . . . . náležejí tudíž kvadratické involuci bodů, 

 jejímiž dvojnásobnými prvky jsou body a a s, a kružnice KK' .... 

 tvoří zvláštní involuční svazek kružnic. 



Označíme-li poloměr křivosti as krátce q a písmenami i a f 

 délky ak a ak', jest rovnice involuce kk' . . . 



i*'— -|-(i-f-i') = 0. 

 Kružnici D, jejíž průměr jest roven ~-^ odpovídá v involuci 



a 



KK',.. . kružnice poloměru nekonečně velkého, poněvadž pro izz -5- 



obdržíme z uvedené rovnice i' = oo . Z toho následuje : 



„Ohniska všech parabol křivku C v libovolném 

 jejím bodě a oskulujících jsou na kružnici, jejíž prů- 

 měr rovná se polovině poloměru křivosti křivky C 

 v bodě a a která se křivky C v tomto bodě dotýká." 



Z té vlastnosti, že normála ellipsy rozpoluje vnitřní a normála 

 hyperboly vnější úhel průvodičů, vyplývá, že dvojinám kružnic KK! 

 které jsou na téže straně tečny T a (jako střed s), odpovídají jakožto 

 křivky oskulační křivky C ellipsy, kdežto dvojinám KK\ jichž kruž- 

 nice jsou na různých stranách tečny T a , příslušejí jakožto oskulační 

 kuželosečky skupiny hyperbol. Paraboly svrchu vytčené činí mezi 

 oběma druhy oskulačních kuželoseček rozhraní. 



Kružnice D o průměru q jest v involuci KK . ... prvkem dvoj- 

 násobným, tak že na ní jsou obě ohniska každé k této splývající 

 družině kružnic příslušné oskulační ellipsy. Z toho jest patrno, že 

 ellipsy oskulační této skupiny oskulují křivku C v místě a svými 

 vrcholy na osách pobočných. Platí tudíž i jinak patrná věta: 



„Ellipsy, které svými vrcholy na osách pobočných 

 křivku Cv místě a oskulují, mají svá ohniska na kruž- 

 nici sestrojené nad poloměrem křivosti místa a křivky 

 C, jakožto nad průměrem." 



4. 



Prozkoumejme nyní geometrické místo středů oskulačních ku- 

 želoseček kterékoliv z vytčených skupin. 



