369 



IX. O průsečné čáre dvou svazků, jejíž jedna čásť je dána. 



28. Buďtež opět dány dva svazky (i? x ), (R 2 ) rozměru prvého, 

 mocnosti m x , m 2 křivek i?,, R 2 řádu r u r 2 a křivka C. Zvolíme-li 

 na C libovolný bod c', prochází jím m í křivek R x a m 2 křivek R 2 . 

 Takto přiřaděné křivky R 2 protínají křivky R l v bodech &, které 

 vyplňují křivku K, když c' proběhne křivku C. Necht křivky R x pro- 

 tínají libovolnou přímku Q v bodech a, a křivky R 2 tutéž přímku 

 v bodech 6, a jsou-li křivky R x a R 2 sobě přiřaděny, buďtež pak 

 body a bodům b též přiřaděny. Kdyby bod a splynul s přiřaděným 

 bodem 6, pak by tento bod byl patrně bodem křivky K. 



Zvolme na Q libovolný bod jakožto a. Jím jde m x křivek R íy 

 každá protíná C v a\ bodech, a každým jde <m 2 křivek i? 2 , a z těch 

 pak každá protíná přímku Q v r 2 bodech b přiřaděných zvolenému 

 bodu a. 



Tedy: Bodu a odpovídá cm 1 w 2 r 1 r 2 bodů b. 



Podobně bychom dostali, že libovolnému 



bodu b odpovídá cm^m^r^ bodů a. 



Tedy společných bodů obou řad jest 2cm 1 wi 2 r 1 r a . 



Mezi těmi jsou však i body, ve kterých Q protíná C. Těmi jde 

 m u m 2 křivek i? x , i? 2 , a tedy leží v nich tolikéž bodů a splynulých 

 s přiřaděným 6, aniž by proto bod ten byl bodem křivky K. 



Třeba tedy odečísti cm í m 2 takovýchto bodů, a křivka K jest 

 následovně řádu 



C7)? 1 w 2 (2 r x r 2 — 1). 



Můžeme tedy říci: 



Dva svazky prvního rozměru, které se pronikají 

 v křivce řádu c-tého, pronikají se dále v křivce řádu 



cm l m 2 (2 r x r 2 — 1). 

 Křivka ta proniká danou křivku C v bodech, mezi kterými 

 jsou i body jinak obdržené. Křivka dotyčná obou svazků (i^), (R 2 ) 

 protíná totiž G v 



cm 1 m 2 [2 (t\ -f r 2 ) — 3] 



bodech, které naleží také křivce předešlé. 



Když toto známe, můžeme řešiti následující úlohu: 



X. Kolik křivek svazku dotýká se libovolné dané křivky OP 



29. Necht libovolná křivka R protíná C v cr bodech, a body ty 

 promítněme z libovolného bodu 6 do libovolné přímky Q. Kdyby dva 



Tř. : Maihematicko-přirodovědecká. 24 



