370 



z těchto bodů splynuly, patrně by se sjednotily i dva z průsečných 

 bodů křivky C a R; z toho následuje, že bod ten c jest pak dotyčným 

 bodem obou křivek. Zvolme na Q libovolný bod a poznamenejme jej a. 



Přímka a<s proniká C \ c bodech, a každým z nich jde m křivek 

 i?, z nichž každá protíná C v dalších cr — 1 bodech, a ty promítnuty 

 do Q dávají body b přiřaděné bodu a. Jest zřejmo, že bodu a od- 

 povídá cm(cr — 1) bodů 6, a naopak libovolnému bodu 6 odpovídá 

 cm(cr — 1) bodů a. Společných bodů jest tedy 2cm(cr — 1). 



Mezi těmi jsou však i takové body, které úlohu neřeší, a ty 

 obdrží se takto. Zvolme kterýkoliv bod c' na křivce C. Tím jde m 

 křivek R a jedna křivka bodem <?. Přímka ta proniká tyto křivky R 

 v bodech, které vyplní dle předešlého křivku řádu cm (2 r — 1) když 

 c' proběhne C. Nechť jest c" bod, ve kterém tato křivka proniká C. 

 Promítneme-li tento bod do Q, splyne v tomto bodu a s 6, aniž by 

 křivka R křivky C se dotýkala. 



Mezi těmito jsou však opět body, ve kterých se křivka R do- 

 týká paprsku bodem a procházejícího na křivce (7, a body tyto ode- 

 čísti netřeba, poněvadž nemají vliv na splynutí bodu a s přiřa- 

 děným b. 



Odpadá tudíž 



c*m (2 r— 1) — cm (2 »-—1) = c (c— 1) m (2 r— 1) 

 bodů a, které s přiřaděným bodem b splývají, ale úlohu neřeší. 



Těch bodů a, s kterými splývá přiřaděný b a úlohu řeší 

 jest tedy 



2 cm (cr — 1) — c (c— 1) m (2 r — 1) = cm (2 r -}- c — 3). 



Platí tedy věta: 



Ve svazku (R) prvého rozměru, mocnosti m-té 

 křivek R řádu r-tého jest 



cm (2 r -{- c — 3) 

 křivek, které dotýkají se libovolné křivky Cřádu c. 



30. Mimochodem jsme zde řešili jinou úlohu. Dána jest křivka 

 Cřádu c-tého a svazek (R) prvého rozměru, m-té mocnosti křivek i? 

 řádu r-tého. Libovolná křivka R' svazku (R) protíná křivku C v cr 

 bodech. Každé dva z nich stanoví přímku P. Když křivka R vyplní 

 svazek (2Ü), přímka P obalí křivku (P), jejíž třídu chceme stanoviti. 



Určíme kolik přímek P prochází libovolným bodem <r. K účelu 

 tomu můžeme použíti téže křivky pomocné jako předešle, t. j. prů- 

 sečné čáry obou svazků (a) a (J?), a opět nám dotyčné body nepo- 

 dávají řešení, za to však jest patrno, že každé dva průsečné body 



