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retti sieno eguali tra loro ; il che immediatamente si deduce dalla defini- 

 zione data dell' angolo retto, soggiunge (Post.V.) « Ed inoltre cine se in due 

 linee rette vi cada un' altra linea retta, e faccia gli angoli interiori dalla stessa 

 parte minori di due retti ; quelle due rette prolungate indefinitamente deb- 

 bano incontrarsi da quella parte dove gli angoli sono minori di due retti (1) ». 



Questo principio su) quale, come é noto, vengono basate la 29 a pro- 

 posizione del 1° Libro degli Elementi e la teoria delle parallele, avendo 

 d' uopo di essere dimostrato , non può classificarsi fra i Postulati , e né 

 manco fra gli Assiomi. Imperocché oltre il mancare della evidenza assio- 

 matica, non é pure, almeno intuitivamente, di facile percezione; in quanto 

 che si potrebbe forse intuire che due rette le quali segate da una terza 

 formano ciascuno degli angoli interiori dalla stessa parte minori del retto, 

 concorrino in un punto ; ma non s' intuisce il loro concorso quando uno 

 dei detti angoli é acuto e 1' altro ottuso. 



Il più antico geometra di cui si conosca un tentativo di rigorosa dimo- 

 strazione del quinto Postulato, é Proclo (2); il noto commentatore degli 

 Elementi ; il quale assume per evidente il principio ammesso già come 

 assioma da Aristotele , che se si prolunghino indefinitivamente i lati di un 

 angolo rettilineo, la loro distanza dece farsi maggiore di qualunque linea 

 retta data. Ma sia perché questo principio abbisognerebbe di essere dimo- 

 strato ; sia perchè Proclo non definisce cosa debbasi intendere per di- 

 stanza fra due rette nel piano ; sia perché egli assume come evidente che 

 due rette parallele siano equidistanti, la sua dimostrazione non venne 

 accolta dai geometri come abbastanza rigorosa. E per verità il sostituire alla 

 definizione delle rette parallele data Euclide , il concetto della equidistanza, 

 benché accolto , al dire di Proclo , da Posidonio , da Gemino e da Tolomeo, 

 non sembra a sufficienza corretto : avvegnaché quand' anche la equidistanza 

 fra due rette si potesse ammettere senza prima dimostrarne la possibilità, 

 siccome la voce greca napaÀ/iy/lot; equivale ad equidistante , 1' affermare 

 come taluni si permisero , che rette parallele sono le equidistanti , é un 

 idem per idem ; mentre poi ci' altra parte alla teoria Euclidea delle paral- 

 lele, sarebbe necessario sostituire una teoria tutta speciale delle rette 

 equidistanti. 



(1) Versione del Flauti. 



Per molte buone ragioni si ritiene che il testo degli Elementi non sia a noi pervenuto nella 

 sua integrità, come venne composto da Euclide ; ed anzi chi prestasse cieca fede nelle sottigliezze 

 della critica moderna, non so cosa rimarrebbe dell'opera originale. Il quinto postulato, avuto 

 riguardo al concetto ond' è informato, al modo dì esposizione, al luogo nel quale è collocato, è 

 esso opera di Euclide? È più facile dubitarne che, escludendo quel postulato, il ricostituire il 

 testo nelP ordine col quale venne compilato dall' autore. 



(2) V. 1' Elenco cronologico nella 2* parte, alla data 1533 1 . Per la indicazione delle successive 

 edizioni e traduzioni, ricorrasi al n.° 13 della Classe Vili nella Parte 3 a . 



