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una di esse, riguardata come quadrica fondamentale, di un punto qualsi- 

 voglia dell' altra è piano tangente quest' ultima quadrica. 



Essendo il punto O arbitrario, l' equazione (Sj) dimostra che il numero 

 delle quadriche conjugate con una sfera data è triplamente infinito. Ad 

 ogni punto 0(a, /?, y) dello spazio corrisponde una delle quadriche (SJ, la 

 quale tocca la sfera in una circonferenza circolare, che é la intersecazione 

 della sfera stessa col piano 



ax -+- /??/ -+- yz — r- 2 = , 



cioè col piano polare del punto O si in rispetto alla sfera (S) come in ri- 

 spetto alla quadrica (S x ) ; perciò si suol dire che il punto O è il polo del 

 contatto, e il piano polare del punto O è il piano del contatto delle due 

 quadriche conjugate. 



Le equazioni che determinano il centro (.v, r, z) della quadrica (S.) 

 corrispondente del punto (a, /?, y) sono 



(tf — r 2 — 2a 2 )x— 2apY— 2yaz -+- 2ra = , 



— 2a0X-+- (<f — r 2 — 2/? 2 )r — 2(3yz -+- 2r 2 /? = , 



— 2yax— 2pyY-+- (d 2 — r — 2f)z -+- 2r 2 y = , 



dalle quali si deduce 



2r ,, 2r 



x 



= -ji 5 a , Y = — p r, /5 , -? = -72" 



d-\-r a--\-r a 



Cerchiamo ora il luogo dei poli del contatto di quelle fra le quadri- 

 che (S x ) che hanno per centro un punto di una data superficie sferica 



S 2 ) (x— af-h (Y— bf-h (z—ef = R 2 . 



Sostituendo nell'equazione (S 2 ) i precedenti valori delle x, y, z, e po- 

 nendo per brevità 



m 2 = a 2 -+- b 2 -+■ e 2 — R 2 



risulta l'equazione 



S*) m 2 (ar -+- p -+- ff -+- 2r(m* — 2(aa + 6|?+ ey — ;-))(<r -+- 2 -+- f) 



— 4r\aa -+- b(3 -+- ey) -h m 2 r 2 = : 



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