— 249 — 



cioè tutti i piani polari del punto O in rispetto alle sfere del fascio. 



Le sezioni fatte nella superfìcie da piani paralleli al piano assintotico 

 reale sono circoli che hanno i loro centri nell'iperbola equilatera 



(x — 2a)(y — h) = ah, z = ; 



e la sezione fatta dal piano z = è la cubica ciclica 



22) (x — 2a){x 2 -+• y 2 ) -+- (a 2 -hb 2 — 2hy)x -+- 2hay = , 



luogo dei punti di contatto delle rette uscenti dal polo O nel piano z = 

 coi circoli del fascio di circoli che nel piano medesimo passano pei due 

 punti x=a, y = ±b. '*' 



Poiché il membro supremo dell' equazione (20) é della forma (b), la su- 

 perfìcie ha potenza in rispetto a que' suoi punti nei quali il piano tangente 

 è parallelo al piano assintotico reale. Le coordinate di questi punti deb- 

 bono soddisfare le equazioni 



23) ^ = 2(x — 2a)y — 2{x — a)h = 0, f- = 2(x — 2a)z = : 



per mezzo della prima di queste eliminando la y dall'equazione (20) nella 

 quale si dovrà anche porre z = a cagione della seconda, risulta 



24) (x — 2a) 2 x 2 -h (a 2 + b 2 )(x — 2a)x — h\x — af — 0. 



Il sistema di queste equazioni (23) e (24) determina quattro punti in ri- 

 spetto a ciascuno dei quali la superficie ha potenza. Questi punti sono 

 quegli stessi quattro punti in rispetto ai quali ha potenza la cubica rap- 

 presentata dall' equazione (22) ( **' : due di essi sono sempre reali ; gli altri 

 due sono immaginarii se è b 2 > 0, sono reali coincidenti se é b 2 = 0, sono 

 reali distinti se è 6 2 <0, cioè b quantità immaginaria. 



Può tuttavia accadere che una soluzione delle equazioni (23) e (24) in 

 luogo di un punto determini nella superficie una linea : cosi nel caso par- 

 ticolare 



& = 



(*) Cfr. 1. e. p. 347. 

 (") 1. e. pag. 347-350. 



Serte V. — Tomo I. 32 



