— 338 — 



Nel presente lavoro si considera invece (e, a quanto io credo, per la 

 prima volta) un sistema che, mentre gode di proprietà non meno svariate 

 ed interessanti di quelle delle funzioni sferiche e mentre ha un'origine 

 non meno semplice, ci introduce però in un campo nuovo perché le sue 

 proprietà discendono tutte da un'equazione ricorrente del terz' ordine cui 

 soddisfano le funzioni del sistema. Aggiunge interesse a tale sistema l'of- 

 frire esso un primo esempio concreto sul quale si possono verificare i 

 principi della teoria generale dei sistemi ricorrenti, da me stabiliti in altri 

 lavori ( *>, come pure le relazioni che esso presenta colle teorie delle fun- 

 zioni ellittiche, in particolare coi punti che riguardano la dipendenza dei 

 periodi dall' invariante assoluto ; infine il soddisfare delle funzióni del si- 

 stema ad una notevole equazione differenziale lineare del terz' ordine. Per 

 tali ragioni ho creduto non inutile il dare di esso sistema, nel presente 

 lavoro, uno studio piuttosto particolareggiato : notando che i metodi seguiti 

 e che si fondano in gran parte sulla considerazione degli integrali di una 

 equazione differenziale lineare sotto forma d'integrali definiti, si appliche- 

 rebbero senza grandi modificazioni allo studio di altri sistemi ricorrenti 

 di terz' ordine o d'ordine superiore. 



I polinomi P„(a?) e la ioro equazione ricorrente. 



1. Si sviluppi in serie di potenze intere e positive di t l'espressione 



(1) T=f-± = 



/f 8 — 3&?-t-l 



dove t ed oc sono variabili complesse qualunque. Lo sviluppo ottenuto con- 

 vergerà per ogni valore di x, entro un cerchio descritto nel piano delia 

 variabile complessa t, col centro nel punto ?=0 e con raggio uguale al 

 minimo modulo delle radici dell'equazione 



(2) /== f — Stsc ■+- 1 = (t — e x ){t — e t )(t — e 3 ) = . 



Le tre radici si supporranno ordinate in ordine di modulo non decrescente, 



(*) Saggio di una generalizzazione delle frazioni continue algebriche: Meni, della R. Accad. di 

 Bologna, S. IV, T. X. — Sui sistemi ricorrenti dì funzioni: sotto stampa nelle Mem. della R. Acca- 

 demia dei Lincei. — Sulla generalizzazione delle frazioni continue algebriche. (Ann. di Mat., S. II, 

 T. XIX). Alcuni dei risultati sviluppati nella presente memoria hanno formato oggetto di una co- 

 municazione preventiva alla R. Accad. dei Lincei (Rendiconti , T. VII) sotto il titolo : Un sistema 

 d'integrali ellittici considerati come funzioni dell' invariante assoluto. 



