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 cioè : 



kl<kl<kl; 



il raggio di convergenza dello sviluppo in discorso sarà dunque | e x \ . I 

 coefficienti dello sviluppo sono evidentemente funzioni di x, perciò scrive- 

 remo 



(3) T=:/-T=2P n (00)t n 



7! = 



ed un calcolo semplice dà 



"o — ■. 1 » "i — 2^' 2 — ~~& X ' 3 — 2 _, ~T6" a? ' ' 



laddove una P affetta da indice negativo si riguarderà naturalmente come 

 nulla. 



2. Derivando logaritmicamente la (1), si ottiene per T l'equazione li- 

 neare omogenea 



(4) 2(f— 3&5-J-1) ~ -4-3(* 2 — x) T=0. 



Sostituendo in questa equazione la serie (3), ed uguagliando a zero il 

 cofficiente di t'\ si ottiene l'equazione ricorrente del terz' ordine cui soddi- 

 sfano le P n : 



(5) 2(n 4- 1)P« +1 — 3(2n -h l)xP n ■+- (2n — l)P n _ 2 = 9 , 

 la quale, colle condizioni 



P_ 2 =0, P_ 1 = 0, P = l 



vale a determinare completamente le P n per ogni valore intero e positivo 

 di n. 



Si scorge subito che P n è un polinomio razionale intero in x, del 

 grado n indicato dall'indice. Di più, si verifica che il suo sviluppo é della 

 forma 



t^n Ct n . n X ~~ r~ G>n*n 3^ ""■"" %.« — qX 



infatti verificata questa legge sui primi polinomi P , P 19 P 2 , P 3 ,... e sup- 

 posta vera fino a P«_ 2 e P„, la (5) mostra colla semplice sostituzione che 

 la stessa legge é vera per P n+Ì - 



