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3. L'equazione alle differenze del terz' ordine cui soddisfano le P n (x) é 



<6) 2(n -+- l)F(n -+- 1) — 3(2/i -+- l)xF(n) -+- (2n — l)F(/i — 2) = ; 



ora si possono dare altri due sistemi di polinomi, che diremo Q n (x) ed 

 R n (x), che sono al pari di P n (x) integrali dell'equazione (6) e tali che 

 ogni altro integrale o n (x) si esprime sotto la forma 



(7) o n (x) = aP n (x) ■+- PQn{x) ■+- yRn{x) , 



essendo a,@,y indipendenti di n. Basta infatti porre per le P„, Q n , R n le 

 condizioni iniziali 



1^ = 0, P =l, P x = |«, 



< 8 ) | Q_ 1 = o, Q = o, Q 1 = i 



' i? j = — 2, i? ^ , R x ^ ; 



si noti che dalle (8) e dalla (6) per n = risulta ancora 



P_ 2 = 0, Q_ 2 = 2, P_ 2 = 0. 



Tali condizioni, insieme all' equazione (6), oltre a determinare P n come pò 

 linomio di grado n, ci danno Qn come polinomio di grado n — 1 ed R n 

 come polinomio di grado ri — 2 : e siccome il determinante delle (8) é di- 

 verso da zero, ogni integrale della (6) si esprime effettivamente sotto la 

 forma (7). Ognuno dei polinomi Q„ ed R n ha la proprietà già riscontrata 

 nelle P„, di contenere sole potenze di x congrue fra loro rispetto al mo- 

 dulo 3. 



4. È noto che si chiama equazione limite di un'equazione lineare alle 

 differenze queir equazione algebrica che si ottiene sostituendo F{n -+- r) con 

 X r , ed i rapporti dei coefficienti coi loro limiti rispettivi per n = co . L' e- 

 quazione limite della (6) è dunque, secondo questa definizione : 



(9) X 3 — 3xX 2 -i-l=0, 



la quale é reciproca della (2), ed ha quindi per radici —, —, — . Ora da 



e \ G 2 e 3 



un teorema del Poincaré ( * ; risulta che soddisfacendo F(n) all' equa- 



(*' American Journal of Mathematics, T. VII. 



