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 "viene appunto per / la forma considerata nei §§ precedenti, cioè 



(11) f=?—3xt + \. 



ha, oc è evidentemente, come risulta dalla (10), un invariante assoluto (ir- 

 razionale) della forma biquadratica aj ; e gì' integrali ellittici si possono 

 senza restrizione , all' infuori del caso di g 3 = , riguardare come aventi 

 sotto il radicale la / sotto la forma (11). 



6. Si consideri ora l'integrale di terza specie 



dt 



f— 



J (u — 



(u-t)x/f 



lo si limiti assumendo come linea di integrazione una linea determinata l, 

 aperta o chiusa, finita od infinita, e si indichi con V(u, ai) la funzione cosi 

 ottenuta. Essa funzione soddisfa ad un'equazione lineare differenziale, che 

 è facile di formare. Parto infatti dallo sviluppo 



a 3 — 3ux -^l — t 3 —3t3c-+-l-^- 3{f — x){u — t)-+- 3t{u — tf-h (a — tf 



moltiplico ambo i membri per 



dt 



(u — t)\/f 

 ed integro lungo l : viene 



derivando rispetto a V, ed integrando per parti il primo termine del se- 

 condo membro : 



2(u 3 — 3ux ■+- 1) ^-+- 6(u 2 — x)V= 



oli 



i^-tVf {v'f i ì/f U-<J„ 



Si ha poi identicamente 



a 2 — x = f-—x-¥- 2t{u — t)-t-(u — tf 



